Номер 1123, страница 106, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1123. У квадрата $ABCD$ вершина $A (-2; 1)$ симметрична вершине $\text{D}$, а вершина $B (-2; 5)$ - вершине $\text{C}$ относительно оси ординат. На координатной плоскости постройте квадрат $ABCD$. Найдите координаты точки $\text{E}$, в которой пересекаются все оси симметрии квадрата $ABCD$.

Построение квадрата ABCD

По условию, вершины квадрата A и D, а также B и C, симметричны относительно оси ординат (оси OY). Точка, симметричная точке с координатами $(x; y)$ относительно оси ординат, имеет координаты $(-x; y)$.

Даны координаты вершины $A(-2; 1)$. Найдем координаты симметричной ей вершины D, изменив знак абсциссы на противоположный: $D(-(-2); 1)$, то есть $D(2; 1)$.

Даны координаты вершины $B(-2; 5)$. Найдем координаты симметричной ей вершины C: $C(-(-2); 5)$, то есть $C(2; 5)$.

Таким образом, вершины квадрата имеют координаты: $A(-2; 1)$, $B(-2; 5)$, $C(2; 5)$, $D(2; 1)$.

Для построения квадрата на координатной плоскости необходимо отметить эти четыре точки и последовательно соединить их отрезками.

Проверим, что полученная фигура является квадратом. Найдем длины его сторон.

Длина стороны AB, где $A(-2; 1)$ и $B(-2; 5)$: $AB = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$.

Длина стороны BC, где $B(-2; 5)$ и $C(2; 5)$: $BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.

Длина стороны CD, где $C(2; 5)$ и $D(2; 1)$: $CD = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$.

Длина стороны DA, где $D(2; 1)$ и $A(-2; 1)$: $DA = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4$.

Все стороны равны 4. Стороны AB и CD вертикальны (параллельны оси OY), а стороны BC и DA горизонтальны (параллельны оси OX). Следовательно, все углы прямые. Фигура ABCD — квадрат.

Ответ: Координаты вершин квадрата: $A(-2; 1)$, $B(-2; 5)$, $C(2; 5)$, $D(2; 1)$.

Нахождение координат точки E

Точка E, в которой пересекаются все оси симметрии квадрата, является его центром. Центр квадрата — это точка пересечения его диагоналей. Эта точка делит каждую диагональ пополам. Следовательно, чтобы найти координаты точки E, достаточно найти координаты середины одной из диагоналей, например, AC.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формулам: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Найдем координаты точки E как середины диагонали AC, где $A(-2; 1)$ и $C(2; 5)$:

$x_E = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_E = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, точка E имеет координаты $(0; 3)$.

Ответ: $E(0; 3)$.