Номер 3, страница 110, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Где находится центр симметрии отрезка, прямоугольника и окружности?

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка (назовем ее $\text{O}$), что для любой точки $\text{A}$, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно $\text{O}$ точка $A'$ также принадлежит этой фигуре. Точка $\text{O}$ при этом является серединой отрезка $AA'$. Рассмотрим, где находится эта точка для заданных фигур.

Отрезок

Центром симметрии отрезка является его середина.

Пусть у нас есть отрезок $AB$. Его середину обозначим как точку $\text{M}$. Если мы возьмем любую точку $\text{P}$ на отрезке $AB$, то точка $P'$, которая симметрична $\text{P}$ относительно $\text{M}$, также будет находиться на отрезке $AB$. Например, для конца отрезка, точки $\text{A}$, симметричной будет точка $\text{B}$ (другой конец отрезка), и наоборот. Для самой точки $\text{M}$ симметричной точкой является она сама.

В координатной плоскости, если концы отрезка имеют координаты $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, то координаты его середины $\text{M}$ (центра симметрии) можно найти по формуле: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Ответ: Центр симметрии отрезка находится в его середине.

Прямоугольник

Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей.

Как известно, диагонали любого прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Эта точка пересечения и является центром симметрии. Обозначим ее $\text{O}$. Для любой вершины, например $\text{A}$, симметричной ей точкой относительно $\text{O}$ будет противоположная вершина $\text{C}$. Для любой точки $\text{P}$ на стороне $AB$, симметричная ей точка $P'$ будет лежать на противоположной стороне $CD$. Таким образом, при центральной симметрии относительно точки $\text{O}$ прямоугольник переходит сам в себя.

Ответ: Центр симметрии прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей.

Окружность

Центром симметрии окружности является её геометрический центр.

По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Пусть $\text{O}$ — центр окружности, а $\text{R}$ — её радиус. Для любой точки $\text{P}$, лежащей на окружности, расстояние $OP$ равно $\text{R}$. Точка $P'$, симметричная $\text{P}$ относительно центра $\text{O}$, лежит на той же прямой $PO$, но по другую сторону от $\text{O}$, и расстояние $OP'$ также равно $\text{R}$. Следовательно, точка $P'$ тоже лежит на этой окружности. Отрезок $PP'$ в данном случае является диаметром. Так как это рассуждение верно для абсолютно любой точки окружности, её центр является центром симметрии.

Ответ: Центр симметрии окружности находится в её центре.