Номер 1136, страница 112, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1136. В классе 24 учащихся. Из них 12 учащихся посещают кружок английского языка, 10 — кружок китайского языка, а 5 учащихся не посещают никакой кружок. Сколько учащихся посещают кружки и английского языка, и китайского? Решение изобразите с помощью кругов Эйлера-Венна.

Для решения этой задачи воспользуемся методом, основанным на теории множеств и диаграммах Эйлера-Венна.

Пусть $\text{U}$ — это множество всех учащихся в классе. По условию, в классе 24 учащихся, значит, мощность этого множества $|U| = 24$.

Пусть $\text{A}$ — множество учащихся, посещающих кружок английского языка. По условию, $|A| = 12$.

Пусть $\text{K}$ — множество учащихся, посещающих кружок китайского языка. По условию, $|K| = 10$.

Известно, что 5 учащихся не посещают никакой кружок. Это означает, что они не принадлежат ни множеству $\text{A}$, ни множеству $\text{K}$.

1. Найдем общее количество учащихся, которые посещают хотя бы один кружок. Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто не посещает ни одного кружка:

$24 - 5 = 19$ (учащихся).

Это число представляет собой количество элементов в объединении множеств $\text{A}$ и $\text{K}$, что записывается как $|A \cup K| = 19$.

2. Нам нужно найти количество учащихся, которые посещают и кружок английского языка, и кружок китайского. Это соответствует нахождению количества элементов в пересечении множеств $\text{A}$ и $\text{K}$, то есть $|A \cap K|$. Для этого используется формула включений-исключений:

$|A \cup K| = |A| + |K| - |A \cap K|$

3. Мы знаем значения всех величин в этой формуле, кроме искомой $|A \cap K|$. Выразим ее из формулы:

$|A \cap K| = |A| + |K| - |A \cup K|$

4. Теперь подставим известные числовые значения и произведем расчет:

$|A \cap K| = 12 + 10 - 19 = 22 - 19 = 3$

Таким образом, 3 учащихся посещают оба кружка.

5. Для построения диаграммы Эйлера-Венна определим количество учащихся в каждой из ее областей:

- Количество учащихся, посещающих только кружок английского языка: $|A| - |A \cap K| = 12 - 3 = 9$.

- Количество учащихся, посещающих только кружок китайского языка: $|K| - |A \cap K| = 10 - 3 = 7$.

- Количество учащихся, посещающих оба кружка: $|A \cap K| = 3$.

- Количество учащихся, не посещающих никаких кружков: 5.

Проверим правильность расчетов, сложив количество учащихся из всех непересекающихся групп: $9 + 7 + 3 + 5 = 24$. Сумма равна общему числу учащихся в классе, значит, расчеты верны.

Решение, изображенное с помощью кругов Эйлера-Венна:

Ответ: 3 учащихся посещают кружки и английского языка, и китайского.