Номер 1137, страница 112, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1137.

На координатной плоскости точка $A(-3; 1)$ – вершина прямоугольника $ABCD$, точка $E(2; 3)$ – его центр симметрии. Запишите координаты вершин $\text{B}$, $\text{C}$ и $\text{D}$. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$. Длину клетки тетради (единичного отрезка) примите за 1 см.

1. Нахождение координат вершин B, C и D

Центр симметрии прямоугольника, точка E, является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам. Следовательно, точка E является серединой диагонали AC.

Координаты точки C($x_C$; $y_C$) можно найти, используя формулы координат середины отрезка:

$x_E = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_E = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим известные значения координат точек A(-3; 1) и E(2; 3):

$2 = \frac{-3 + x_C}{2} \Rightarrow 4 = -3 + x_C \Rightarrow x_C = 4 + 3 = 7$

$3 = \frac{1 + y_C}{2} \Rightarrow 6 = 1 + y_C \Rightarrow y_C = 6 - 1 = 5$

Таким образом, координаты вершины C(7; 5).

Для нахождения координат вершин B и D можно предположить, что стороны прямоугольника параллельны осям координат, что является стандартным допущением в таких задачах при отсутствии дополнительной информации. В этом случае x-координаты вершин будут либо -3, либо 7, а y-координаты – либо 1, либо 5.

Так как вершины A и C уже имеют координаты A(-3; 1) и C(7; 5), то оставшиеся две вершины B и D должны иметь координаты (-3; 5) и (7; 1).

Присвоим эти координаты вершинам B и D так, чтобы их названия следовали по периметру прямоугольника (например, в порядке A-B-C-D). Пусть вершина B будет смежной с вершиной A.

Вариант 1: B(-3; 5). Тогда сторона AB параллельна оси OY. Смежной с B должна быть C(7; 5), что образует сторону BC, параллельную оси OX. Оставшаяся вершина D(7; 1) замыкает прямоугольник. Эта последовательность A(-3; 1) → B(-3; 5) → C(7; 5) → D(7; 1) является корректной.

Проверим, является ли E(2; 3) серединой диагонали BD:

$x_E = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_E = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Координаты совпали, значит, наш выбор вершин B и D верен.

Ответ: Координаты вершин: B(-3; 5), C(7; 5), D(7; 1).

2. Нахождение площади прямоугольника ABCD

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон, например, AB и BC. Найдем длины этих сторон, используя формулу расстояния между двумя точками. Так как стороны параллельны осям координат, можно просто найти разность соответствующих координат.

Длина стороны AB, соединяющей точки A(-3; 1) и B(-3; 5):

$AB = |y_B - y_A| = |5 - 1| = 4$ см.

Длина стороны BC, соединяющей точки B(-3; 5) и C(7; 5):

$BC = |x_C - x_B| = |7 - (-3)| = |7 + 3| = 10$ см.

Теперь вычислим площадь прямоугольника S:

$S = AB \cdot BC = 4 \cdot 10 = 40$ см².

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна 40 см².