Номер 1148, страница 114, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1148. На координатной плоскости постройте квадрат $ABCD$ с вершиной в точке $A(-2; 4)$ и центром симметрии в точке $E(1; 1)$. Запишите координаты его вершин $\text{B}$, $\text{C}$ и $\text{D}$.

По условию, точка E(1; 1) является центром симметрии квадрата ABCD. Это означает, что E — точка пересечения диагоналей AC и BD, и она делит эти диагонали пополам. Следовательно, E является серединой отрезков AC и BD.

1. Нахождение координат вершины C

Так как E — середина диагонали AC, её координаты являются средним арифметическим координат точек A(-2; 4) и C($x_C; y_C$). Используем формулу середины отрезка:

$x_E = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-2 + x_C}{2}$

$2 = -2 + x_C$

$x_C = 4$

$y_E = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 1 = \frac{4 + y_C}{2}$

$2 = 4 + y_C$

$y_C = -2$

Таким образом, вершина C имеет координаты (4; -2).

2. Нахождение координат вершин B и D

Диагонали квадрата равны по длине и взаимно перпендикулярны. Это свойство переносится на векторы, соединяющие центр с вершинами. Вектор, идущий к одной из оставшихся вершин (например, $\vec{EB}$), можно получить поворотом вектора $\vec{EA}$ на 90 градусов. Сначала найдём координаты вектора $\vec{EA}$:

$\vec{EA} = (x_A - x_E; y_A - y_E) = (-2 - 1; 4 - 1) = (-3; 3)$

При повороте вектора $(a; b)$ на 90o в одну сторону получается вектор $(-b; a)$, а в другую — $(b; -a)$. Применим это к вектору $\vec{EA} = (-3; 3)$. Перпендикулярные ему векторы той же длины будут:

$\vec{v_1} = (-3; -3)$ и $\vec{v_2} = (3; 3)$

Эти векторы соответствуют векторам $\vec{EB}$ и $\vec{ED}$. Теперь найдём координаты вершин B и D, отложив эти векторы от центра E(1; 1). Выбор, какой вектор соответствует какой вершине, определяет только их наименования.

Пусть $\vec{EB} = \vec{v_2} = (3; 3)$. Тогда координаты вершины B:

$B = E + \vec{EB} = (1 + 3; 1 + 3) = (4; 4)$

Тогда $\vec{ED} = \vec{v_1} = (-3; -3)$. Координаты вершины D:

$D = E + \vec{ED} = (1 + (-3); 1 + (-3)) = (-2; -2)$

Итак, мы нашли координаты всех недостающих вершин.

Ответ: B(4; 4), C(4; -2), D(-2; -2).