Номер 1151, страница 114, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1151. На координатной плоскости даны три вершины квадрата $ABCD$: $A(-8; 2)$, $B(-2; 2)$ и $C(-2; -4)$.

1) Найдите координаты четвертой вершины $\text{D}$.

2) Постройте квадрат $A_1B_1C_1D_1$, симметричный квадрату $ABCD$ относительно оси ординат. Найдите точку $\text{F}$ – центр симметрии квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Запишите координаты точки $\text{F}$.

1) В квадрате, как и в любом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Сначала найдем координаты точки $\text{O}$ — середины диагонали $AC$, используя формулу координат середины отрезка: $(x; y) = (\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

$x_o = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-8 + (-2)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$y_o = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Координаты центра квадрата $\text{O}$ равны $(-5; -1)$.

Точка $\text{O}$ также является серединой диагонали $BD$. Пусть координаты искомой вершины $D(x_D; y_D)$. Тогда:

$x_o = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow -5 = \frac{-2 + x_D}{2}$

$-10 = -2 + x_D$

$x_D = -8$

$y_o = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow -1 = \frac{2 + y_D}{2}$

$-2 = 2 + y_D$

$y_D = -4$

Следовательно, координаты четвертой вершины $D(-8; -4)$.

Ответ: $D(-8; -4)$.

2) Квадрат A₁B₁C₁D₁ симметричен квадрату $ABCD$ относительно оси ординат (оси $Oy$). При симметрии относительно оси $Oy$ точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; y)$, то есть абсцисса меняет знак, а ордината остается неизменной.

Найдем координаты вершин симметричного квадрата:

$A(-8; 2) \rightarrow$ A₁$(8; 2)$

$B(-2; 2) \rightarrow$ B₁$(2; 2)$

$C(-2; -4) \rightarrow$ C₁$(2; -4)$

$D(-8; -4) \rightarrow$ D₁$(8; -4)$

Центр симметрии $\text{F}$ квадрата A₁B₁C₁D₁ является точкой пересечения его диагоналей. Найдем координаты точки $\text{F}$ как середины диагонали A₁C₁:

$x_F = \frac{x_{A_1} + x_{C_1}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_F = \frac{y_{A_1} + y_{C_1}}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, координаты центра симметрии $\text{F}$ равны $(5; -1)$.

Ответ: $F(5; -1)$.