Номер 1255, страница 144, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1255. Паук и муха сидят на противоположных вершинах куба (рис. 8.8). Паук может ползти по ребру куба и по диагонали грани куба. Сколько вариантов движения паука к мухе существует?

Рис. 8.8

Для решения задачи представим куб в трехмерной системе координат. Пусть паук находится в вершине A с координатами $(0, 0, 0)$, а муха — в противоположной вершине B с координатами $(a, a, a)$, где $\text{a}$ — длина ребра куба.

Паук может передвигаться двумя способами:

1. По ребру куба. Длина такого шага равна $\text{a}$. При этом изменяется только одна координата.
2. По диагонали грани. Длина такого шага равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. При этом изменяются две координаты.

Задача состоит в том, чтобы найти количество всех различных маршрутов от паука к мухе. Так как в условии не сказано, что паук должен выбрать кратчайший путь, мы будем считать все маршруты, в которых паук не проходит через одну и ту же вершину дважды и с каждым шагом приближается к мухе. Будем считать, что «приближение» означает строгое уменьшение евклидова расстояния до конечной точки B.

Расстояния от различных типов вершин до мухи в точке B$(a,a,a)$:

• Расстояние от паука A$(0,0,0)$ до мухи B: $d(A,B) = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$.
• Расстояние от «соседних» вершин (изменяется одна координата, например, C$(a,0,0)$) до B: $d(C,B) = \sqrt{(a-a)^2+a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.
• Расстояние от вершин на противоположных гранях (изменяются две координаты, например, D$(a,a,0)$) до B: $d(D,B) = \sqrt{(a-a)^2+(a-a)^2+a^2} = a$.

Рассмотрим все возможные типы маршрутов, удовлетворяющие условию приближения к цели на каждом шаге:

1. Маршруты из двух шагов.

Такие маршруты должны состоять из одного шага по ребру и одного шага по диагонали грани, так как два шага по ребру или два шага по диагонали не приведут паука из A в B.

• Путь «ребро-диагональ»: Паук сначала ползет по ребру в одну из 3 соседних вершин (тип C), а затем по диагонали грани — к мухе.

  Например: A$(0,0,0) \to (a,0,0) \to$ B$(a,a,a)$.

  Расстояния до B: $a\sqrt{3} \to a\sqrt{2} \to 0$. На каждом шаге паук приближается.

  Из вершины A выходит 3 ребра. Из каждой новой вершины есть ровно один путь по диагонали грани до B.

  Количество таких вариантов: $3 \times 1 = 3$.

• Путь «диагональ-ребро»: Паук сначала ползет по диагонали грани в одну из 3 вершин (тип D), а затем по ребру — к мухе.

  Например: A$(0,0,0) \to (a,a,0) \to$ B$(a,a,a)$.

  Расстояния до B: $a\sqrt{3} \to a \to 0$. На каждом шаге паук приближается.

  Из вершины A можно провести 3 диагонали по граням. Из каждой новой вершины есть ровно один путь по ребру до B.

  Количество таких вариантов: $3 \times 1 = 3$.

Итого, существует $3 + 3 = 6$ маршрутов из двух шагов.

2. Маршруты из трех шагов.

• Путь «ребро-ребро-ребро»: Паук последовательно движется по трем ребрам.

  Например: A$(0,0,0) \to (a,0,0) \to (a,a,0) \to$ B$(a,a,a)$.

  Расстояния до B: $a\sqrt{3} \to a\sqrt{2} \to a \to 0$. На каждом шаге паук приближается.

  С первого шага у паука есть 3 варианта. Со второго — 2 варианта, чтобы не возвращаться и продолжать движение к цели. С третьего — 1 вариант до мухи.

  Количество таких вариантов: $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Другие типы маршрутов из трех и более шагов (например, «диагональ-диагональ-ребро») не удовлетворяют условию строгого приближения на каждом шаге, так как будут содержать перемещения между вершинами, равноудаленными от цели (например, между двумя вершинами типа D).

Общее количество вариантов:

Суммируем количество всех найденных вариантов движения:

$3 \text{ (ребро-диагональ)} + 3 \text{ (диагональ-ребро)} + 6 \text{ (ребро-ребро-ребро)} = 12$

Ответ: 12.