Номер 1258, страница 144, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1258. Города Уральск, Костанай, Павлодар, Актау и Тараз имеют друг с другом прямое воздушное сообщение. Сколько вариантов воздушных сообщений между этими городами?

В задаче даны 5 городов: Уральск, Костанай, Павлодар, Актау и Тараз. Указано, что между любыми двумя из этих городов есть прямое воздушное сообщение. Нам нужно найти общее количество таких сообщений (маршрутов).

Каждое воздушное сообщение соединяет два города. Например, маршрут "Уральск - Костанай" является одним сообщением. Важно отметить, что маршрут "Костанай - Уральск" — это то же самое сообщение, просто рассматриваемое в обратном направлении. Следовательно, нам нужно посчитать количество уникальных пар городов.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Перебор вариантов

Давайте последовательно перечислим все возможные маршруты, исходящие из каждого города, избегая повторений.

1. Из Уральска можно улететь в 4 города:

• Уральск – Костанай

• Уральск – Павлодар

• Уральск – Актау

• Уральск – Тараз

Итого: 4 маршрута.

2. Из Костаная можно улететь в оставшиеся 3 города (маршрут до Уральска мы уже посчитали):

• Костанай – Павлодар

• Костанай – Актау

• Костанай – Тараз

Итого: 3 новых маршрута.

3. Из Павлодара можно улететь в оставшиеся 2 города:

• Павлодар – Актау

• Павлодар – Тараз

Итого: 2 новых маршрута.

4. Из Актау остается только один новый маршрут:

• Актау – Тараз

Итого: 1 новый маршрут.

Из Тараза все возможные маршруты уже учтены.

Теперь сложим все уникальные маршруты: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Способ 2: Использование комбинаторики

Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из $\text{n}$ элементов по $\text{k}$, где $\text{n}$ — общее количество городов, а $\text{k}$ — количество городов в одном сообщении. В нашем случае $n=5$ (всего городов), а $k=2$ (каждое сообщение соединяет два города).

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 10