Номер 1265, страница 145, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1265*. При взвешивании четырех рыб по две штуки во всех возможных вариантах их масса была равна 4 кг, 6 кг, 7 кг, 8 кг, 9 кг и 11 кг.

Сколько килограммов составляет масса всех рыб?

Какова масса каждой рыбы?

Сколько килограммов составляет масса всех рыб?

Обозначим массы четырех рыб как $m_1$, $m_2$, $m_3$ и $m_4$.

При взвешивании четырех рыб по две штуки существует $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$ возможных пар. Это соответствует шести данным значениям массы.

Сложим все результаты взвешиваний:

$S = 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 = 45$ кг.

Эта сумма $\text{S}$ представляет собой сумму масс всех пар: $(m_1+m_2) + (m_1+m_3) + (m_1+m_4) + (m_2+m_3) + (m_2+m_4) + (m_3+m_4)$.

В этой общей сумме масса каждой рыбы ($m_1$, $m_2$, $m_3$, $m_4$) учитывается трижды, так как каждая рыба входит в три разные пары.

Следовательно, $S = 3 \cdot (m_1 + m_2 + m_3 + m_4)$.

Масса всех четырех рыб равна:

$m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = \frac{S}{3} = \frac{45}{3} = 15$ кг.

Ответ: 15 кг.

Какова масса каждой рыбы?

Пусть массы рыб, упорядоченные по возрастанию, равны $m_1 \le m_2 \le m_3 \le m_4$.

Общая масса всех рыб, как мы нашли, составляет 15 кг.

Самая легкая пара даст наименьший вес, а самая тяжелая — наибольший:

$m_1 + m_2 = 4$ кг

$m_3 + m_4 = 11$ кг

Следующие по величине суммы это $m_1+m_3$ (вторая самая легкая пара) и $m_2+m_4$ (вторая самая тяжелая пара):

$m_1 + m_3 = 6$ кг

$m_2 + m_4 = 9$ кг

Оставшиеся два веса, 7 кг и 8 кг, соответствуют парам $m_1+m_4$ и $m_2+m_3$. Мы не можем однозначно определить, какая пара какому весу соответствует, поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $m_2 + m_3 = 8$ кг и $m_1 + m_4 = 7$ кг.

У нас есть система трех уравнений для трех неизвестных $m_1, m_2, m_3$:

$m_1+m_2=4$

$m_1+m_3=6$

$m_2+m_3=8$

Сложив эти три уравнения, получим: $2(m_1+m_2+m_3) = 4+6+8 = 18$, откуда $m_1+m_2+m_3 = 9$ кг.

Теперь легко найти каждую массу:

$m_3 = (m_1+m_2+m_3) - (m_1+m_2) = 9 - 4 = 5$ кг.

$m_2 = (m_1+m_2+m_3) - (m_1+m_3) = 9 - 6 = 3$ кг.

$m_1 = (m_1+m_2+m_3) - (m_2+m_3) = 9 - 8 = 1$ кг.

Массу четвертой рыбы находим из общей суммы: $m_4 = 15 - (m_1+m_2+m_3) = 15 - 9 = 6$ кг.

Массы рыб: 1 кг, 3 кг, 5 кг, 6 кг.

Случай 2: $m_2 + m_3 = 7$ кг и $m_1 + m_4 = 8$ кг.

Аналогично, решаем систему для $m_1, m_2, m_3$:

$m_1+m_2=4$

$m_1+m_3=6$

$m_2+m_3=7$

Сложив уравнения, получим: $2(m_1+m_2+m_3) = 4+6+7 = 17$, откуда $m_1+m_2+m_3 = 8.5$ кг.

Находим массы:

$m_3 = (m_1+m_2+m_3) - (m_1+m_2) = 8.5 - 4 = 4.5$ кг.

$m_2 = (m_1+m_2+m_3) - (m_1+m_3) = 8.5 - 6 = 2.5$ кг.

$m_1 = (m_1+m_2+m_3) - (m_2+m_3) = 8.5 - 7 = 1.5$ кг.

Масса четвертой рыбы: $m_4 = 15 - (m_1+m_2+m_3) = 15 - 8.5 = 6.5$ кг.

Массы рыб: 1.5 кг, 2.5 кг, 4.5 кг, 6.5 кг.

Оба набора масс удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Массы рыб могут быть либо 1 кг, 3 кг, 5 кг и 6 кг, либо 1.5 кг, 2.5 кг, 4.5 кг и 6.5 кг.