Номер 275, страница 87, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

275. Заполните рамочки. Запишите рациональное число в виде дроби с числителем - целое число; и со знаменателем - натуральное число.

1) $-3\frac{\square}{2} = \frac{-7}{\square};$

2) $\square\frac{5}{9} = \frac{14}{\square};$

3) $-\square\frac{3}{5} = \frac{-23}{\square};$

4) $-2\frac{\square}{7} = \frac{-18}{\square};$

5) $-6\frac{1}{\square} = \frac{-\square}{2};$

6) $\square\frac{1}{3} = \frac{22}{\square}.$

1) Чтобы заполнить окошки в равенстве $-3 \frac{\Box}{2} = \frac{-7}{\Box}$, необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Общая формула для преобразования отрицательного смешанного числа $-a \frac{b}{c}$ в неправильную дробь: $-a \frac{b}{c} = -\frac{a \cdot c + b}{c} = \frac{-(a \cdot c + b)}{c}$.

В нашем случае дано смешанное число $-3 \frac{x}{2}$ и результат в виде дроби $\frac{-7}{y}$, где $\text{x}$ и $\text{y}$ — числа в окошках.

Преобразуем левую часть: $-3 \frac{x}{2} = -\frac{3 \cdot 2 + x}{2} = \frac{-(6+x)}{2}$.

Теперь приравняем это выражение к правой части: $\frac{-(6+x)}{2} = \frac{-7}{y}$.

Из равенства дробей следует равенство их числителей и знаменателей.

Приравниваем знаменатели: $2 = y$. Значит, во втором окошке должно быть число 2.

Приравниваем числители: $-(6+x) = -7$. Умножив обе части на -1, получим $6+x = 7$. Отсюда $x = 7 - 6 = 1$. Значит, в первом окошке должно быть число 1.

Проверяем: $-3 \frac{1}{2} = -\frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{7}{2} = \frac{-7}{2}$.

Ответ: $-3 \frac{1}{2} = \frac{-7}{2}$.

2) В равенстве $\Box \frac{5}{9} = \frac{14}{\Box}$ нужно найти целую часть смешанного числа и знаменатель неправильной дроби. Формула преобразования смешанного числа $a \frac{b}{c}$ в неправильную дробь: $a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$.

Пусть $\text{x}$ — целая часть, а $\text{y}$ — знаменатель итоговой дроби: $x \frac{5}{9} = \frac{14}{y}$.

Преобразуем левую часть: $x \frac{5}{9} = \frac{x \cdot 9 + 5}{9}$.

Приравниваем к правой части: $\frac{9x+5}{9} = \frac{14}{y}$.

Приравниваем знаменатели: $9 = y$. Значит, во втором окошке стоит число 9.

Приравниваем числители: $9x+5=14$. Решаем уравнение: $9x = 14 - 5$, $9x=9$, $x=1$. Значит, в первом окошке стоит число 1.

Проверяем: $1 \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$.

Ответ: $1 \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$.

3) В равенстве $-\Box \frac{3}{5} = \frac{-23}{\Box}$ требуется найти целую часть смешанного числа и знаменатель неправильной дроби. Используем формулу: $-a \frac{b}{c} = \frac{-(a \cdot c + b)}{c}$.

Пусть $\text{x}$ — целая часть, а $\text{y}$ — знаменатель итоговой дроби: $-x \frac{3}{5} = \frac{-23}{y}$.

Преобразуем левую часть: $-x \frac{3}{5} = -\frac{x \cdot 5 + 3}{5} = \frac{-(5x+3)}{5}$.

Приравниваем к правой части: $\frac{-(5x+3)}{5} = \frac{-23}{y}$.

Приравниваем знаменатели: $5 = y$. Значит, во втором окошке стоит число 5.

Приравниваем числители: $-(5x+3) = -23$. Отсюда $5x+3 = 23$. Решаем уравнение: $5x = 23 - 3$, $5x=20$, $x=4$. Значит, в первом окошке стоит число 4.

Проверяем: $-4 \frac{3}{5} = -\frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = -\frac{20+3}{5} = \frac{-23}{5}$.

Ответ: $-4 \frac{3}{5} = \frac{-23}{5}$.

4) В равенстве $-2 \frac{\Box}{7} = \frac{-18}{\Box}$ нужно найти числитель дробной части и знаменатель неправильной дроби. Используем формулу: $-a \frac{b}{c} = \frac{-(a \cdot c + b)}{c}$.

Пусть $\text{x}$ — числитель дробной части, а $\text{y}$ — знаменатель итоговой дроби: $-2 \frac{x}{7} = \frac{-18}{y}$.

Преобразуем левую часть: $-2 \frac{x}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + x}{7} = \frac{-(14+x)}{7}$.

Приравниваем к правой части: $\frac{-(14+x)}{7} = \frac{-18}{y}$.

Приравниваем знаменатели: $7 = y$. Значит, во втором окошке стоит число 7.

Приравниваем числители: $-(14+x) = -18$. Отсюда $14+x=18$. Решаем уравнение: $x=18-14$, $x=4$. Значит, в первом окошке стоит число 4.

Проверяем: $-2 \frac{4}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = -\frac{14+4}{7} = \frac{-18}{7}$.

Ответ: $-2 \frac{4}{7} = \frac{-18}{7}$.

5) В равенстве $-6 \frac{1}{\Box} = \frac{-\Box}{2}$ требуется найти знаменатель дробной части смешанного числа и числитель неправильной дроби. Используем формулу: $-a \frac{b}{c} = \frac{-(a \cdot c + b)}{c}$.

Пусть $\text{x}$ — знаменатель дробной части, а $\text{y}$ — числитель итоговой дроби: $-6 \frac{1}{x} = \frac{-y}{2}$.

Преобразуем левую часть: $-6 \frac{1}{x} = -\frac{6 \cdot x + 1}{x}$.

Приравниваем к правой части: $\frac{-(6x+1)}{x} = \frac{-y}{2}$.

Приравниваем знаменатели: $x = 2$. Значит, в первом окошке стоит число 2.

Приравниваем числители: $-(6x+1) = -y$. Отсюда $6x+1 = y$. Подставляем найденное значение $x=2$: $y = 6 \cdot 2 + 1 = 12 + 1 = 13$. Значит, во втором окошке стоит число 13.

Проверяем: $-6 \frac{1}{2} = -\frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{13}{2} = \frac{-13}{2}$.

Ответ: $-6 \frac{1}{2} = \frac{-13}{2}$.

6) В равенстве $\Box \frac{1}{3} = \frac{22}{\Box}$ нужно найти целую часть смешанного числа и знаменатель неправильной дроби. Используем формулу: $a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$.

Пусть $\text{x}$ — целая часть, а $\text{y}$ — знаменатель итоговой дроби: $x \frac{1}{3} = \frac{22}{y}$.

Преобразуем левую часть: $x \frac{1}{3} = \frac{x \cdot 3 + 1}{3}$.

Приравниваем к правой части: $\frac{3x+1}{3} = \frac{22}{y}$.

Приравниваем знаменатели: $3=y$. Значит, во втором окошке стоит число 3.

Приравниваем числители: $3x+1=22$. Решаем уравнение: $3x=22-1$, $3x=21$, $x=7$. Значит, в первом окошке стоит число 7.

Проверяем: $7 \frac{1}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{21+1}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $7 \frac{1}{3} = \frac{22}{3}$.