Номер 319, страница 102, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

319. Имеется 15 внешне одинаковых колец, из них 14 одинаковой массы, одно бракованное легче остальных. Как с помощью не более трех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти бракованное кольцо?

Для нахождения бракованного кольца за три взвешивания необходимо на каждом шаге делить имеющиеся кольца на три максимально равные группы. Чашечные весы имеют три исхода: левая чаша легче, правая чаша легче или равновесие. Это позволяет за одно взвешивание определить, в какой из трех групп находится искомое кольцо.

Пронумеруем все 15 колец для удобства от 1 до 15.

Первое взвешивание

Разделим 15 колец на три группы по 5 колец:

• Группа 1: кольца с 1 по 5.
• Группа 2: кольца с 6 по 10.
• Группа 3: кольца с 11 по 15.

Положим на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2. Группу 3 оставим в стороне. Возможны три исхода:

1. Весы в равновесии. Это означает, что все 10 колец на весах — стандартные. Следовательно, бракованное (более легкое) кольцо находится в Группе 3 (кольца 11, 12, 13, 14, 15).
2. Левая чаша легче. Это означает, что бракованное кольцо находится среди колец Группы 1 (кольца 1, 2, 3, 4, 5).
3. Правая чаша легче. В этом случае бракованное кольцо — одно из колец Группы 2 (кольца 6, 7, 8, 9, 10).

В любом из исходов мы сужаем круг поиска до 5 колец, и у нас остается еще два взвешивания.

Второе взвешивание

Теперь у нас есть 5 колец, среди которых одно — легкое. Возьмем, для примера, группу из колец {1, 2, 3, 4, 5}. Разделим их на три новые группы: {1}, {2}, {3, 4, 5}.

Положим на левую чашу весов кольцо 1, а на правую — кольцо 2. Кольца 3, 4, 5 оставим в стороне. Возможны три исхода:

1. Весы в равновесии. Это значит, что кольца 1 и 2 имеют стандартный вес. Бракованное кольцо находится среди оставшихся: {3, 4, 5}.
2. Левая чаша легче. Это значит, что кольцо 1 является бракованным. Задача решена.
3. Правая чаша легче. В этом случае бракованным является кольцо 2. Задача решена.

Если задача еще не решена, значит, мы определили, что искомое кольцо находится в группе из трех, и у нас осталось одно взвешивание.

Третье взвешивание

У нас есть 3 кольца (например, {3, 4, 5}), среди которых одно — легкое.

Положим на левую чашу кольцо 3, а на правую — кольцо 4. Кольцо 5 оставим в стороне. Возможны три исхода:

1. Весы в равновесии. Значит, кольца 3 и 4 стандартные, а бракованным является кольцо 5.
2. Левая чаша легче. Значит, бракованное кольцо — это кольцо 3.
3. Правая чаша легче. Значит, бракованное кольцо — это кольцо 4.

Таким образом, предложенный алгоритм позволяет гарантированно найти единственное легкое кольцо из 15 не более чем за три взвешивания.

Ответ: Описанная выше последовательность из трех взвешиваний позволяет однозначно определить бракованное кольцо.