Номер 422, страница 132, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

422. Найдите площадь прямоугольника ABCD (рис. 2.47).

$10 \text{ см}^2$

$21 \text{ см}^2$

Рис. 2.47

Пусть большой прямоугольник $ABCD$ разделен на четыре меньших прямоугольника двумя перпендикулярными линиями. Обозначим ширины левых и правых прямоугольников как $w_1$ и $w_2$, а высоты верхних и нижних прямоугольников как $h_1$ и $h_2$.

Согласно рисунку, нам даны площади двух прямоугольников, расположенных по диагонали друг от друга:

Площадь верхнего левого прямоугольника: $S_{1} = w_1 \cdot h_1 = 10 \text{ см}^2$.

Площадь нижнего правого прямоугольника: $S_{4} = w_2 \cdot h_2 = 21 \text{ см}^2$.

Площадь всего прямоугольника $ABCD$ является суммой площадей всех четырех меньших прямоугольников. Найдем площади двух оставшихся прямоугольников:

Площадь верхнего правого прямоугольника: $S_{2} = w_2 \cdot h_1$.

Площадь нижнего левого прямоугольника: $S_{3} = w_1 \cdot h_2$.

Общая площадь $S_{ABCD}$ равна: $S_{ABCD} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 10 + w_2 h_1 + w_1 h_2 + 21 = 31 + w_2 h_1 + w_1 h_2$.

Рассмотрим произведение площадей известных прямоугольников: $S_1 \cdot S_4 = (w_1 h_1) \cdot (w_2 h_2) = w_1 w_2 h_1 h_2$.

Теперь рассмотрим произведение площадей двух других, неизвестных прямоугольников: $S_2 \cdot S_3 = (w_2 h_1) \cdot (w_1 h_2) = w_1 w_2 h_1 h_2$.

Отсюда следует важное свойство: произведение площадей прямоугольников, находящихся в противоположных углах, равны. $S_1 \cdot S_4 = S_2 \cdot S_3$.

Подставив известные значения, получаем: $10 \cdot 21 = S_2 \cdot S_3$, что дает $S_2 \cdot S_3 = 210$.

Общая площадь $S_{ABCD} = 31 + S_2 + S_3$. Чтобы найти ее, нам нужно знать сумму $S_2 + S_3$. Однако, зная только произведение двух чисел ($S_2 \cdot S_3 = 210$), невозможно однозначно определить их сумму. Это означает, что задача может иметь разные решения в зависимости от соотношения сторон.

Продемонстрируем это на двух примерах.

Пример 1:

Пусть стороны левого верхнего прямоугольника $w_1 = 2 \text{ см}$ и $h_1 = 5 \text{ см}$. Тогда его площадь $w_1 h_1 = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}^2$. Пусть стороны правого нижнего прямоугольника $w_2 = 3 \text{ см}$ и $h_2 = 7 \text{ см}$. Тогда его площадь $w_2 h_2 = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см}^2$. В этом случае площади двух других прямоугольников будут: $S_2 = w_2 h_1 = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}^2$. $S_3 = w_1 h_2 = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}^2$. (Проверка: $S_2 \cdot S_3 = 15 \cdot 14 = 210$). Общая площадь будет: $S_{ABCD} = 10 + 15 + 14 + 21 = 60 \text{ см}^2$.

Пример 2:

Пусть стороны левого верхнего прямоугольника $w_1 = 1 \text{ см}$ и $h_1 = 10 \text{ см}$. Тогда его площадь $w_1 h_1 = 1 \cdot 10 = 10 \text{ см}^2$. Пусть стороны правого нижнего прямоугольника $w_2 = 7 \text{ см}$ и $h_2 = 3 \text{ см}$. Тогда его площадь $w_2 h_2 = 7 \cdot 3 = 21 \text{ см}^2$. В этом случае площади двух других прямоугольников будут: $S_2 = w_2 h_1 = 7 \cdot 10 = 70 \text{ см}^2$. $S_3 = w_1 h_2 = 1 \cdot 3 = 3 \text{ см}^2$. (Проверка: $S_2 \cdot S_3 = 70 \cdot 3 = 210$). Общая площадь будет: $S_{ABCD} = 10 + 70 + 3 + 21 = 104 \text{ см}^2$.

Поскольку мы получили разные значения для общей площади, это доказывает, что на основе предоставленной информации однозначно определить площадь прямоугольника $ABCD$ невозможно. Для нахождения единственного решения требуются дополнительные данные, например, площадь еще одного из малых прямоугольников, или длина одной из сторон, или соотношение сторон.

Ответ: На основании предоставленных данных найти однозначное значение площади прямоугольника $ABCD$ невозможно. Задача имеет бесконечное множество решений.