Номер 421, страница 132, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

421. Из 7 монет одна фальшивая. Она тяжелее остальных. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Чтобы найти фальшивую монету за наименьшее количество взвешиваний, необходимо на каждом шаге делить оставшиеся подозрительные монеты на три как можно более равные группы. Это связано с тем, что чашечные весы имеют три возможных исхода: левая чаша тяжелее, правая чаша тяжелее или чаши в равновесии.

Пронумеруем монеты от 1 до 7.

Первое взвешивание

Разделим 7 монет на три группы: 3 монеты, 3 монеты и 1 монета. Положим на каждую чашу весов по 3 монеты.

На левую чашу: монеты {1, 2, 3}.

На правую чашу: монеты {4, 5, 6}.

В стороне остается монета {7}.

Рассмотрим возможные результаты:

1. Весы в равновесии. Это означает, что все монеты на весах ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) настоящие. Следовательно, фальшивая монета, которая тяжелее остальных, — это та, что осталась в стороне, то есть монета №7. В этом случае монета найдена за одно взвешивание.

2. Левая чаша перевесила. Это значит, что фальшивая монета находится среди монет на левой чаше: {1, 2, 3}.

3. Правая чаша перевесила. Это значит, что фальшивая монета находится среди монет на правой чаше: {4, 5, 6}.

Таким образом, после первого взвешивания мы либо сразу находим фальшивую монету, либо сужаем круг поиска до 3-х монет.

Второе взвешивание

Допустим, в результате первого взвешивания мы определили, что фальшивая монета находится в группе из трех монет (например, {1, 2, 3}). Теперь нам нужно найти ее.

Возьмем любые две монеты из этой группы, например №1 и №2, и положим их на весы: одну на левую чашу, другую на правую. Монета №3 остается в стороне.

Рассмотрим возможные результаты:

1. Весы в равновесии. Это означает, что монеты №1 и №2 имеют одинаковый вес, а значит, они настоящие. Следовательно, фальшивая монета — та, что осталась в стороне, то есть монета №3.

2. Левая чаша перевесила. Это означает, что монета №1 тяжелее монеты №2. Так как мы знаем, что фальшивая монета тяжелее, то это монета №1.

3. Правая чаша перевесила. Это означает, что монета №2 тяжелее монеты №1. Следовательно, фальшивая монета — это №2.

Таким образом, второе взвешивание гарантированно определяет фальшивую монету.

Обоснование минимальности

Одно взвешивание имеет 3 исхода, что позволяет различить не более 3-х вариантов. У нас же 7 монет, то есть 7 возможных вариантов расположения фальшивой монеты. Поскольку $3 < 7$, одного взвешивания недостаточно.

Два взвешивания дают $3^2 = 9$ возможных комбинаций исходов. Поскольку $9 \ge 7$, двух взвешиваний теоретически может быть достаточно, и предложенный алгоритм доказывает, что это действительно так на практике.

Следовательно, наименьшее количество взвешиваний, необходимое для гарантированного нахождения фальшивой монеты, равно двум.

Ответ: 2.