Номер 647, страница 180, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

647. Практическая работа

Любое трехзначное число $\overline{abc}$ можно записать в виде суммы разрядных слагаемых: $100a + 10b + c$.

Докажите на примере:

1) Какой должна быть цифра $\text{c}$ в числе $\overline{abc}$, чтобы число было кратно 2?

2) Какой должна быть цифра $\text{c}$ в числе $\overline{abc}$, чтобы число было кратно 5?

3) Какими могут быть цифры $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$, чтобы число $\overline{abc}$ было кратно 9?

1) Какой должна быть цифра c в числе $\overline{abc}$, чтобы число было кратно 2?

Представим трехзначное число $\overline{abc}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Чтобы число $\overline{abc}$ было кратно 2 (то есть делилось на 2 без остатка), эта сумма должна делиться на 2. Рассмотрим каждое слагаемое.

Слагаемое $100a$ можно записать как $2 \times 50a$. Оно всегда делится на 2, так как содержит множитель 2. Слагаемое $10b$ можно записать как $2 \times 5b$. Оно также всегда делится на 2. Следовательно, сумма первых двух слагаемых, $(100a + 10b)$, всегда делится на 2.

Для того чтобы вся сумма $(100a + 10b) + c$ делилась на 2, необходимо, чтобы и последнее слагаемое, цифра $\text{c}$, также делилась на 2. Цифры, которые делятся на 2, — это четные цифры.

Пример: Возьмем число 574. Здесь $a=5$, $b=7$, $c=4$. $574 = 100 \times 5 + 10 \times 7 + 4$. Сумма $100 \times 5 + 10 \times 7 = 500 + 70 = 570$ делится на 2. Последняя цифра $c=4$ также делится на 2. Значит, и все число 574 делится на 2 ($574 \div 2 = 287$). Если бы последняя цифра была нечетной, например, 3 (в числе 573), то так как 3 не делится на 2, все число 573 также не делилось бы на 2.

Ответ: цифра $\text{c}$ должна быть четной, то есть принадлежать множеству $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

2) Какой должна быть цифра c в числе $\overline{abc}$, чтобы число было кратно 5?

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим сумму $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Чтобы число $\overline{abc}$ было кратно 5, эта сумма должна делиться на 5.

Слагаемое $100a$ ($=5 \times 20a$) всегда делится на 5. Слагаемое $10b$ ($=5 \times 2b$) также всегда делится на 5. Значит, их сумма $(100a + 10b)$ всегда делится на 5.

Чтобы вся сумма $(100a + 10b) + c$ делилась на 5, необходимо, чтобы слагаемое $\text{c}$ делилось на 5. Единственные цифры, которые делятся на 5, — это 0 и 5.

Пример: Возьмем число 195. Здесь $c=5$. $195 = 100 \times 1 + 10 \times 9 + 5$. Сумма $100 \times 1 + 10 \times 9 = 190$ делится на 5. Последняя цифра $c=5$ также делится на 5. Следовательно, и число 195 делится на 5 ($195 \div 5 = 39$).

Ответ: цифра $\text{c}$ должна быть 0 или 5.

3) Какими могут быть цифры a, b и c, чтобы число $\overline{abc}$ было кратно 9?

Рассмотрим число $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Чтобы доказать признак делимости на 9, преобразуем это выражение. Запишем $100a$ как $99a + a$ и $10b$ как $9b + b$. Тогда число $\overline{abc}$ можно представить в виде: $\overline{abc} = (99a + a) + (9b + b) + c$. Сгруппируем слагаемые: $\overline{abc} = (99a + 9b) + (a + b + c)$. Вынесем общий множитель 9 за скобки в первой группе: $\overline{abc} = 9 \times (11a + b) + (a + b + c)$.

Первое слагаемое, $9 \times (11a + b)$, очевидно, делится на 9. Следовательно, чтобы вся сумма делилась на 9, необходимо, чтобы второе слагаемое, $(a + b + c)$, также делилось на 9. Выражение $(a + b + c)$ — это сумма цифр числа $\overline{abc}$.

Пример: Возьмем число 729. Сумма его цифр $a+b+c = 7+2+9 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и число 729 должно делиться на 9. Проверим с помощью нашего преобразования: $729 = 9 \times (11 \times 7 + 2) + (7 + 2 + 9) = 9 \times 79 + 18$. Оба слагаемых, $9 \times 79$ и $18$, делятся на 9, значит, и их сумма делится на 9. Проверка: $729 \div 9 = 81$.

Ответ: цифры $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ должны быть такими, чтобы их сумма $(a+b+c)$ была кратна 9.