Номер 885, страница 37, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

885. Оцените значение выражения $\frac{1}{a}$, если:

1) $3 < a < 7$;

2) $4 < a < 9$;

3) $\frac{1}{9} < a < \frac{1}{5}$;

4) $\frac{1}{8} < a < \frac{1}{4}$.

1) По условию дано двойное неравенство $3 < a < 7$. Все части этого неравенства являются положительными числами. Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{a}$, необходимо взять обратные величины от каждой части неравенства. Основное свойство, которое мы используем: если $\text{x}$ и $\text{y}$ — положительные числа и $x < y$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$. Применяя это свойство к неравенству $3 < a < 7$, мы получаем, что $\frac{1}{3} > \frac{1}{a} > \frac{1}{7}$. Для удобства принято записывать двойные неравенства в порядке возрастания, поэтому мы меняем местами левую и правую части: $\frac{1}{7} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{7} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$.

2) Дано неравенство $4 < a < 9$. Аналогично предыдущему пункту, все части неравенства положительны. Возьмем обратные величины от каждой части и изменим знаки неравенства на противоположные, так как функция $y=\frac{1}{x}$ убывает на промежутке $(0; +\infty)$. Получаем: $\frac{1}{4} > \frac{1}{a} > \frac{1}{9}$. Запишем результат в стандартном виде, то есть в порядке возрастания: $\frac{1}{9} < \frac{1}{a} < \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{9} < \frac{1}{a} < \frac{1}{4}$.

3) Дано неравенство $\frac{1}{9} < a < \frac{1}{5}$. Все части неравенства положительны. Чтобы оценить $\frac{1}{a}$, снова воспользуемся свойством о взятии обратных величин. Применим эту операцию ко всем частям неравенства, не забывая поменять знаки на противоположные: $\frac{1}{\frac{1}{9}} > \frac{1}{a} > \frac{1}{\frac{1}{5}}$. Упростим крайние части, вспомнив, что обратное число к дроби $\frac{1}{x}$ есть $\text{x}$. Таким образом, получаем: $9 > \frac{1}{a} > 5$. Запишем в стандартном порядке: $5 < \frac{1}{a} < 9$.

Ответ: $5 < \frac{1}{a} < 9$.

4) Дано неравенство $\frac{1}{8} < a < \frac{1}{4}$. Все части неравенства положительны. Берем обратные величины от всех частей и меняем знаки неравенства на противоположные: $\frac{1}{\frac{1}{8}} > \frac{1}{a} > \frac{1}{\frac{1}{4}}$. После упрощения крайних выражений получаем: $8 > \frac{1}{a} > 4$. Записываем неравенство в порядке возрастания: $4 < \frac{1}{a} < 8$.

Ответ: $4 < \frac{1}{a} < 8$.