Номер 895, страница 38, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

895. Известно, что $a>b$. Сравните выражения:

1) $\frac{3}{4}a$ и $\frac{3}{4}b$

2) $-2a$ и $-2b$;

3) $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{5}$;

4) $-\frac{a}{7}$ и $\frac{b}{7}$;

5) $\frac{a+5}{4}$ и $\frac{b-5}{4}$;

6) $-2\frac{3}{5}a$ и $-2\frac{3}{5}b$.

1) Сравним выражения $\frac{3}{4}a$ и $\frac{3}{4}b$.

По условию дано неравенство $a > b$. Чтобы получить из него требуемые выражения, нужно обе части неравенства умножить на одно и то же число $\frac{3}{4}$.

Так как $\frac{3}{4} > 0$ (положительное число), то при умножении обеих частей неравенства на это число знак неравенства не меняется.

$a > b \quad | \cdot \frac{3}{4}$

$\frac{3}{4}a > \frac{3}{4}b$

Ответ: $\frac{3}{4}a > \frac{3}{4}b$.

2) Сравним выражения $-2a$ и $-2b$.

По условию $a > b$. Умножим обе части этого неравенства на $-2$.

Так как $-2 < 0$ (отрицательное число), то при умножении обеих частей неравенства на это число знак неравенства меняется на противоположный (с ">" на "<").

$a > b \quad | \cdot (-2)$

$-2a < -2b$

Ответ: $-2a < -2b$.

3) Сравним выражения $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{5}$.

В данном случае однозначно сравнить выражения нельзя, так как результат сравнения зависит от конкретных значений $\text{a}$ и $\text{b}$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Приведем два примера, дающих разный результат:

1. Пусть $a=6$ и $b=3$. Условие $a > b$ ( $6>3$ ) выполняется. Сравним $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{5}$:

$\frac{6}{3} = 2$

$\frac{3}{5} = 0.6$

В этом случае $2 > 0.6$, значит $\frac{a}{3} > \frac{b}{5}$.

2. Пусть $a=-6$ и $b=-10$. Условие $a > b$ ( $-6>-10$ ) выполняется. Сравним $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{5}$:

$\frac{-6}{3} = -2$

$\frac{-10}{5} = -2$

В этом случае $-2 = -2$, значит $\frac{a}{3} = \frac{b}{5}$.

Поскольку мы получили разные знаки сравнения (">" и "="), сделать однозначный вывод невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

4) Сравним выражения $-\frac{a}{7}$ и $-\frac{b}{7}$.

По условию $a > b$. Сначала разделим обе части неравенства на $\text{7}$. Так как $7>0$, знак неравенства не изменится:

$a > b \quad | : 7$

$\frac{a}{7} > \frac{b}{7}$

Теперь умножим обе части полученного неравенства на $-1$. Так как $-1 < 0$, знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{a}{7} > \frac{b}{7} \quad | \cdot (-1)$

$-\frac{a}{7} < -\frac{b}{7}$

Ответ: $-\frac{a}{7} < -\frac{b}{7}$.

5) Сравним выражения $\frac{a+5}{4}$ и $\frac{b-5}{4}$.

Поскольку знаменатели дробей одинаковы и положительны, для сравнения дробей достаточно сравнить их числители: $a+5$ и $b-5$.

Найдем разность этих выражений: $(a+5) - (b-5) = a+5-b+5 = (a-b)+10$.

Из условия $a > b$ следует, что разность $a-b$ является положительным числом, то есть $a-b > 0$.

Сумма положительного числа $(a-b)$ и положительного числа $10$ также будет положительным числом: $(a-b)+10 > 0$.

Так как разность $(a+5) - (b-5)$ положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого: $a+5 > b-5$.

Поскольку числитель первой дроби больше числителя второй, то и первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{a+5}{4} > \frac{b-5}{4}$.

6) Сравним выражения $-2\frac{3}{5}a$ и $-2\frac{3}{5}b$.

По условию $a > b$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{3}{5} = -\frac{13}{5}$.

Нам нужно умножить обе части исходного неравенства на отрицательное число $-\frac{13}{5}$.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$a > b \quad | \cdot (-\frac{13}{5})$

$-\frac{13}{5}a < -\frac{13}{5}b$

Запишем результат, используя смешанные числа:

$-2\frac{3}{5}a < -2\frac{3}{5}b$

Ответ: $-2\frac{3}{5}a < -2\frac{3}{5}b$.