Номер 897, страница 38, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

897. Используя свойства числовых неравенств, докажите:

1) если $3x < 8 - x$, то $x < 2$;

2) если $4x - 3 < 12 + x$, то $x < 5$;

3) если $5 + 4x > 20 - x$, то $x > 3$;

4) если $2(3 + x) > 18 - 4x$, то $x > 2$.

1)

Чтобы доказать утверждение, необходимо преобразовать исходное неравенство $3x < 8 - x$, используя свойства числовых неравенств.

Перенесем слагаемое $-x$ из правой части неравенства в левую, изменив его знак на противоположный. Это действие основано на свойстве прибавления одного и того же выражения к обеим частям неравенства.

$3x + x < 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x < 8$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4. Согласно свойству, при делении на положительное число знак неравенства сохраняется.

$\frac{4x}{4} < \frac{8}{4}$

$x < 2$

Таким образом, мы показали, что из неравенства $3x < 8 - x$ следует $x < 2$. Утверждение доказано.

Ответ: $x < 2$.

2)

Преобразуем исходное неравенство $4x - 3 < 12 + x$.

Используя свойства числовых неравенств, перенесем слагаемые, содержащие переменную $\text{x}$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых через знак неравенства их знаки меняются на противоположные.

$4x - x < 12 + 3$

Упростим обе части неравенства, приведя подобные слагаемые:

$3x < 15$

Разделим обе части на положительный коэффициент 3. Знак неравенства при этом не изменится.

$\frac{3x}{3} < \frac{15}{3}$

$x < 5$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $x < 5$.

3)

Преобразуем неравенство $5 + 4x > 20 - x$.

Перенесем слагаемые с переменной $\text{x}$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные при переносе.

$4x + x > 20 - 5$

Упростим обе части неравенства:

$5x > 15$

Разделим обе части на положительное число 5. Знак неравенства при этом сохранится.

$\frac{5x}{5} > \frac{15}{5}$

$x > 3$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $x > 3$.

4)

Преобразуем неравенство $2(3 + x) > 18 - 4x$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$6 + 2x > 18 - 4x$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $\text{x}$ в левую часть, а числа — в правую часть, меняя знаки при переносе.

$2x + 4x > 18 - 6$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$6x > 12$

Разделим обе части на положительное число 6. Знак неравенства при этом не изменится.

$\frac{6x}{6} > \frac{12}{6}$

$x > 2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $x > 2$.