Номер 1, страница 166, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1. Какие несократимые дроби можно записать в виде конечной десятичной дроби?

2. Запишите обыкновенные дроби в виде периодической дроби и укажите ее период:

а) $\frac{2}{3}$

б) $\frac{3}{7}$

в) $\frac{5}{6}$

г) $\frac{13}{11}$

д) $-\frac{7}{12}$

е) $\frac{1}{15}$

ж) $2\frac{3}{14}$

з) $-3\frac{4}{33}$

Несократимую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае, если разложение её знаменателя на простые множители не содержит никаких других простых чисел, кроме 2 и 5.

Обоснование:

1. Любая конечная десятичная дробь по определению может быть представлена как дробь, знаменатель которой является степенью числа 10. Например: $0,7 = \frac{7}{10}$, $0,19 = \frac{19}{100}$, $0,023 = \frac{23}{1000}$. В общем виде, любая конечная десятичная дробь записывается как $\frac{A}{10^k}$, где $\text{A}$ — целое число, а $\text{k}$ — натуральное число.

2. Разложим знаменатель $10^k$ на простые множители. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, то $10^k = (2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k$. Это означает, что в разложении на простые множители знаменателя любой конечной десятичной дроби могут присутствовать только простые числа 2 и 5.

3. Теперь рассмотрим несократимую дробь $\frac{p}{q}$. Чтобы её можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо, чтобы её можно было привести к эквивалентной дроби со знаменателем $10^k$. Это возможно только в том случае, если знаменатель $\text{q}$ является делителем некоторой степени числа 10. А это, в свою очередь, означает, что в разложении самого знаменателя $\text{q}$ на простые множители не может быть других простых чисел, кроме 2 и 5.

Таким образом, знаменатель $\text{q}$ несократимой дроби $\frac{p}{q}$ должен иметь вид $q = 2^n \cdot 5^m$, где $\text{n}$ и $\text{m}$ — целые неотрицательные числа.

Примеры:

• Дробь $\frac{3}{40}$. Это несократимая дробь. Знаменатель $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^1$. Так как он содержит только множители 2 и 5, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной. Чтобы получить в знаменателе степень 10, нужно, чтобы степени у 2 и 5 были одинаковыми. У нас есть $2^3$ и $5^1$. Домножим числитель и знаменатель на $5^2 = 25$:

  $\frac{3}{40} = \frac{3}{2^3 \cdot 5^1} = \frac{3 \cdot 5^2}{2^3 \cdot 5^1 \cdot 5^2} = \frac{3 \cdot 25}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{75}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{75}{10^3} = \frac{75}{1000} = 0,075$.

• Дробь $\frac{7}{30}$. Это несократимая дробь. Знаменатель $30 = 3 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Так как в разложении знаменателя есть простой множитель 3, эту дробь невозможно представить в виде конечной десятичной. При делении получится бесконечная периодическая дробь: $\frac{7}{30} = 0,2333... = 0,2(3)$.

Ответ: Несократимые дроби, которые можно записать в виде конечной десятичной дроби, — это дроби, знаменатели которых в разложении на простые множители содержат только числа 2 и 5. Иначе говоря, знаменатель $\text{q}$ такой дроби должен иметь вид $q = 2^n \cdot 5^m$, где $\text{n}$ и $\text{m}$ являются целыми неотрицательными числами.