Номер 2, страница 166, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Какие несократимые дроби можно записать в виде чистой периодической дроби?

Обыкновенную несократимую дробь $\frac{m}{n}$ можно записать в виде чистой периодической десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее знаменатель $\text{n}$ не содержит в своем разложении на простые множители чисел 2 и 5. Другими словами, знаменатель $\text{n}$ должен быть взаимно простым с числом 10, то есть $\text{НОД}(n, 10) = 1$.

Рассмотрим подробное обоснование этого правила.

Любая обыкновенная дробь при переводе в десятичную форму становится либо конечной, либо бесконечной периодической. Тип десятичной дроби полностью определяется простыми множителями в знаменателе $\text{n}$ несократимой дроби $\frac{m}{n}$.

1. Конечная десятичная дробь

Дробь $\frac{m}{n}$ обращается в конечную десятичную дробь, если ее знаменатель $\text{n}$ в каноническом разложении на простые множители содержит только степени чисел 2 и 5. То есть, $n = 2^a \cdot 5^b$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — неотрицательные целые числа.

Пример: дробь $\frac{3}{40}$. Знаменатель $40 = 2^3 \cdot 5^1$. Дробь является конечной: $\frac{3}{40} = 0.075$.

2. Бесконечная периодическая десятичная дробь

Если в разложении знаменателя $\text{n}$ на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5, то дробь обращается в бесконечную периодическую. Эти дроби, в свою очередь, делятся на два вида.

а) Чистая периодическая дробь

Это дробь, у которой период (повторяющаяся группа цифр) начинается непосредственно после запятой. Например, $0.(3) = 0.333...$ или $0.(14) = 0.141414...$.

Такая ситуация возникает, когда знаменатель $\text{n}$ несократимой дроби $\frac{m}{n}$ не имеет в своем разложении на простые множители чисел 2 и 5. То есть, $\text{НОД}(n, 10) = 1$.

Обоснование: Если знаменатель $\text{n}$ взаимно прост с 10, то по теореме Эйлера существует такое натуральное число $\text{k}$ (длина периода или кратное ему), что $10^k \equiv 1 \pmod{n}$. Это означает, что $10^k - 1$ делится на $\text{n}$ нацело, то есть $10^k - 1 = n \cdot q$ для некоторого целого $\text{q}$. Тогда дробь $\frac{m}{n}$ можно представить в виде: $ \frac{m}{n} = \frac{m \cdot q}{n \cdot q} = \frac{m \cdot q}{10^k - 1} $

Дробь, знаменатель которой имеет вид $10^k - 1$ (число, состоящее из $\text{k}$ девяток), при переводе в десятичную форму всегда является чистой периодической.

Пример: дробь $\frac{4}{7}$. Знаменатель $n=7$ не имеет множителей 2 и 5. $\frac{4}{7} = 0.571428571428... = 0.(571428)$. Это чистая периодическая дробь.

б) Смешанная периодическая дробь

Это дробь, у которой между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, образующих предпериод. Например, $0.1(6) = 0.1666...$.

Такая ситуация возникает, когда знаменатель $\text{n}$ несократимой дроби $\frac{m}{n}$ содержит в своем разложении и множители 2 и/или 5, и другие простые множители.

Обоснование: Пусть $n = 2^a \cdot 5^b \cdot k$, где $\text{НОД}(k, 10) = 1$ и хотя бы одно из чисел $\text{a}$ или $\text{b}$ больше нуля. Пусть $c = \max(a, b)$. Тогда дробь можно преобразовать следующим образом: $ \frac{m}{n} = \frac{m}{2^a \cdot 5^b \cdot k} = \frac{1}{10^c} \cdot \frac{m \cdot 2^{c-a} \cdot 5^{c-b}}{k} $

В этом выражении дробь $\frac{m \cdot 2^{c-a} \cdot 5^{c-b}}{k}$ является чистой периодической, так как ее знаменатель $\text{k}$ взаимно прост с 10. Однако умножение на $\frac{1}{10^c}$ сдвигает десятичную запятую на $\text{c}$ знаков влево. Этот сдвиг и создает предпериод (неповторяющуюся часть) длиной $\text{c}$.

Пример: дробь $\frac{5}{12}$. Знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$. Он содержит как множитель 2, так и множитель 3. $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$. Это смешанная периодическая дробь с предпериодом "41".

Вывод

Таким образом, для того чтобы несократимая дробь представлялась в виде чистой периодической дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя на простые множители не было ни двоек, ни пятерок.

Ответ: В виде чистой периодической дроби можно записать те и только те несократимые дроби $\frac{m}{n}$, знаменатель $\text{n}$ которых не делится ни на 2, ни на 5.