Номер 574, страница 167, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

574. Выразите в виде десятичной периодической дроби числа (вычислите до третьего разряда):

1) $1\frac{1}{9}$; $2\frac{1}{9}$; $-3\frac{1}{9}$; $-\frac{1}{9};$

2) $\frac{1}{6}$; $4\frac{1}{6}$; $-5\frac{1}{6}$; $-7\frac{1}{6}$.

Образец: $4\frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = 4 + 0,(3) = 4,(3)$, или $4\frac{1}{3} = 4,(3)$.

1)

Чтобы выразить данные числа в виде десятичной периодической дроби, сначала преобразуем их общую дробную часть, $\frac{1}{9}$, в десятичную дробь. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$1 \div 9 = 0.111...$

При делении остаток постоянно равен 1, следовательно, цифра 1 в частном будет повторяться бесконечно. Это чистая периодическая дробь с периодом 1.

$\frac{1}{9} = 0,(1)$

Теперь, используя этот результат, представим каждое число в виде десятичной периодической дроби:

$1\frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9} = 1 + 0,(1) = 1,(1)$

$2\frac{1}{9} = 2 + \frac{1}{9} = 2 + 0,(1) = 2,(1)$

$-3\frac{1}{9} = -(3 + \frac{1}{9}) = -(3 + 0,(1)) = -3,(1)$

$-\frac{1}{9} = -0,(1)$

Ответ: $1,(1)$; $2,(1)$; $-3,(1)$; $-0,(1)$.

2)

Аналогично, для чисел из второго пункта найдем десятичное представление для их общей дробной части $\frac{1}{6}$. Выполним деление $\text{1}$ на $\text{6}$:

$1 \div 6 = 0.1666...$

При делении $\text{1}$ на $\text{6}$ сначала получаем $0.1$ и остаток $\text{4}$. Далее, при делении остатка $\text{4}$ (представленного как $40$) на $\text{6}$, мы постоянно получаем в частном $\text{6}$ и в остатке $\text{4}$. Таким образом, цифра 6 является повторяющейся (периодом). Это смешанная периодическая дробь.

$\frac{1}{6} = 0.1(6)$

Теперь выразим каждое число в виде десятичной периодической дроби:

$\frac{1}{6} = 0.1(6)$

$4\frac{1}{6} = 4 + \frac{1}{6} = 4 + 0.1(6) = 4.1(6)$

$-5\frac{1}{6} = -(5 + \frac{1}{6}) = -(5 + 0.1(6)) = -5.1(6)$

$-7\frac{1}{6} = -(7 + \frac{1}{6}) = -(7 + 0.1(6)) = -7.1(6)$

Ответ: $0.1(6)$; $4.1(6)$; $-5.1(6)$; $-7.1(6)$.