Номер 581, страница 168, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Представьте рациональное число в виде десятичной периодической дроби (581, 582).

581. $\frac{5}{7}$; $-\frac{8}{15}$; $\frac{8}{9}$; $-\frac{2}{21}$; $\frac{5}{22}$; $\frac{4}{45}$;

$\frac{5}{7}$ Чтобы представить рациональное число в виде десятичной периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Разделим 5 на 7 столбиком.

$5 \div 7 = 0$ (остаток 5)

$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)

$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)

$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)

$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)

$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)

$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)

После нескольких шагов деления остаток 5 повторился. Это означает, что последовательность цифр в частном, полученная между этими двумя остатками, будет повторяться. Эта последовательность цифр (714285) называется периодом дроби.

Таким образом, $\frac{5}{7} = 0,714285714285... = 0,(714285)$.

Ответ: $0,(714285)$

$-\frac{8}{15}$ Сначала представим в виде десятичной дроби положительное число $\frac{8}{15}$, выполнив деление 8 на 15, а затем добавим к результату знак минус.

$8 \div 15 = 0$ (остаток 8)

$80 \div 15 = 5$ (остаток 5)

$50 \div 15 = 3$ (остаток 5)

Остаток 5 начал повторяться, следовательно, цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно. Цифра 5 после запятой не повторяется и образует предпериод.

Таким образом, $\frac{8}{15} = 0,5333... = 0,5(3)$.

Соответственно, для исходной дроби получаем: $-\frac{8}{15} = -0,5(3)$.

Ответ: $-0,5(3)$

$\frac{8}{9}$ Для представления дроби $\frac{8}{9}$ в виде десятичной периодической дроби, разделим 8 на 9.

$8 \div 9 = 0$ (остаток 8)

$80 \div 9 = 8$ (остаток 8)

Остаток 8 повторяется, значит, цифра 8 в частном будет постоянно повторяться. Это чистая периодическая дробь.

Таким образом, $\frac{8}{9} = 0,888... = 0,(8)$.

Ответ: $0,(8)$

$-\frac{2}{21}$ Найдем десятичное представление для дроби $\frac{2}{21}$, разделив 2 на 21, и затем добавим знак минус.

$2 \div 21 = 0$ (остаток 2)

$20 \div 21 = 0$ (остаток 20)

$200 \div 21 = 9$ (остаток 11)

$110 \div 21 = 5$ (остаток 5)

$50 \div 21 = 2$ (остаток 8)

$80 \div 21 = 3$ (остаток 17)

$170 \div 21 = 8$ (остаток 2)

Остаток 2 повторился. Последовательность цифр частного, полученная между первым и вторым появлением остатка 2, образует период: 095238.

Таким образом, $\frac{2}{21} = 0,095238095238... = 0,(095238)$.

Следовательно, $-\frac{2}{21} = -0,(095238)$.

Ответ: $-0,(095238)$

$\frac{5}{22}$ Чтобы представить дробь $\frac{5}{22}$ в виде десятичной периодической дроби, выполним деление 5 на 22.

$5 \div 22 = 0$ (остаток 5)

$50 \div 22 = 2$ (остаток 6)

$60 \div 22 = 2$ (остаток 16)

$160 \div 22 = 7$ (остаток 6)

$60 \div 22 = 2$ (остаток 16)

Начиная со второго шага после запятой, остатки 6 и 16 начинают чередоваться. Это означает, что в частном будут повторяться цифры 2 и 7. Первая цифра 2 после запятой не входит в период. Это смешанная периодическая дробь.

Таким образом, $\frac{5}{22} = 0,2272727... = 0,2(27)$.

Ответ: $0,2(27)$

$\frac{4}{45}$ Для представления дроби $\frac{4}{45}$ в виде десятичной периодической дроби, разделим 4 на 45.

$4 \div 45 = 0$ (остаток 4)

$40 \div 45 = 0$ (остаток 40)

$400 \div 45 = 8$ (остаток 40)

Остаток 40 начал повторяться, следовательно, цифра 8 в частном будет повторяться. Цифра 0 после запятой не повторяется и образует предпериод.

Таким образом, $\frac{4}{45} = 0,0888... = 0,0(8)$.

Ответ: $0,0(8)$