Номер 3, страница 197, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Что такое тождественное преобразование?

Определение тождественного преобразования

Тождественное преобразование выражения — это его замена другим выражением, которое тождественно равно исходному на его области допустимых значений (ОДЗ). Два выражения называются тождественно равными, если их значения совпадают при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Другими словами, тождественное преобразование изменяет форму (внешний вид) выражения, но не изменяет его значение.

Например, выражения $2(x+3)$ и $2x+6$ являются тождественно равными, так как при любом значении переменной $\text{x}$ их значения будут одинаковы. Переход от $2(x+3)$ к $2x+6$ является тождественным преобразованием, которое называется раскрытием скобок.

Ответ: Тождественное преобразование — это замена одного математического выражения другим, равным ему по значению при всех допустимых значениях переменных, но имеющим другую форму записи.

Основные виды и примеры тождественных преобразований

В алгебре и других разделах математики постоянно используются различные тождественные преобразования. К ним относятся:

• Приведение подобных слагаемых: Сложение или вычитание членов выражения, имеющих одинаковую буквенную часть.

  Пример: $5a + 3b - 2a = (5a - 2a) + 3b = 3a + 3b$.

• Раскрытие скобок и вынесение общего множителя за скобки (факторизация): Эти операции основаны на распределительном законе умножения.

  Пример раскрытия скобок: $x(y - z + 4) = xy - xz + 4x$.

  Пример факторизации: $12x^2y - 18xy^2 = 6xy \cdot 2x - 6xy \cdot 3y = 6xy(2x - 3y)$.

• Применение формул сокращенного умножения: Это частные случаи раскрытия скобок для стандартных выражений.

  Пример (квадрат суммы): $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  Пример (разность квадратов): $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

• Действия со степенями и корнями: Применение свойств степеней и корней.

  Пример (свойства степеней): $(c^5)^2 \cdot c^3 = c^{10} \cdot c^3 = c^{10+3} = c^{13}$.

  Пример (свойства корней): $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ (для неотрицательных чисел).

• Действия с дробями: Сокращение дробей, приведение к общему знаменателю.

  Пример (сокращение): $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ (при условии $x \ne 1$).

• Использование тригонометрических тождеств:

  Пример: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Преобразование $\frac{\sin(2x)}{2\cos x}$ в $\sin x$ (при $\cos x \ne 0$) является тождественным, так как $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Ответ: К основным тождественным преобразованиям относятся: приведение подобных слагаемых, работа со скобками (раскрытие и вынесение множителя), применение формул сокращенного умножения, действия со степенями, корнями и дробями, а также использование тригонометрических и других математических тождеств.

Цель и важность тождественных преобразований

Тождественные преобразования являются фундаментальным инструментом в математике. Их главная цель — упростить выражение, привести его к более удобному для анализа или вычислений виду. Они используются для:

• Упрощения выражений: Превращение громоздкого выражения в более короткое и понятное. Например, выражение $(x+2)^2 - x^2 - 4$ после преобразований $x^2+4x+4 - x^2 - 4 = 4x$ становится намного проще.
• Решения уравнений и неравенств: Большинство шагов при решении уравнений — это тождественные преобразования. Например, решая уравнение $5x - 8 = 2x + 1$, мы переносим члены из одной части в другую: $5x - 2x = 1 + 8$, что является тождественным преобразованием, а затем приводим подобные слагаемые: $3x = 9$.
• Доказательства тождеств: Чтобы доказать, что два выражения тождественно равны, одно из них (или оба) преобразуют с помощью цепочки тождественных преобразований, пока не получат другое (или пока оба не будут приведены к одинаковому виду).

Ответ: Цель тождественных преобразований заключается в упрощении выражений, решении уравнений и неравенств, а также в доказательстве математических тождеств путем приведения выражений к более удобной форме.

Важность Области Допустимых Значений (ОДЗ)

При выполнении тождественных преобразований крайне важно следить за областью допустимых значений переменных. Некоторые преобразования могут приводить к расширению или сужению ОДЗ. Тождество сохраняется только там, где оба, и исходное, и конечное выражения, определены и равны.

Классический пример — преобразование $\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$. Это преобразование (сокращение дроби) является тождественным только при условии, что $C \ne 0$.

Рассмотрим выражение $y = \frac{x^2 - 4}{x+2}$. Его ОДЗ: $x \ne -2$. Выполним тождественное преобразование: $y = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$. У полученной функции $y = x-2$ ОДЗ — все действительные числа. Таким образом, преобразование $\frac{x^2 - 4}{x+2} = x-2$ является тождественным только на множестве $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$, но не на всей числовой прямой, так как при $x=-2$ исходное выражение не определено.

Ответ: Тождественное преобразование корректно только в рамках общей области допустимых значений исходного и конечного выражений. Некоторые преобразования могут изменять ОДЗ, что необходимо учитывать, особенно при решении уравнений.