Номер 1, страница 197, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1. Какие равенства называются тождествами? Приведите примеры.

1. Тождеством называется равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Допустимыми называются те значения переменных, при которых обе части равенства (левая и правая) имеют смысл.

Главное отличие тождества от уравнения заключается в том, что уравнение представляет собой равенство, которое выполняется лишь при определённых значениях переменных (которые называются корнями уравнения), в то время как тождество справедливо для всего множества допустимых значений. Например, равенство $x + 5 = 8$ является уравнением, так как оно верно только при $x=3$. Оно не будет верным при других значениях, например, при $x=1$.

Процесс замены одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.

Примеры тождеств:

• Любое верное числовое равенство является тождеством. Например: $15 + 10 = 25$ или $3 \cdot (4+5) = 3 \cdot 9 = 27$.

• Свойства действий с числами, выраженные с помощью переменных. Например, переместительный закон сложения: $a+b = b+a$.

• Формулы сокращенного умножения. Например, квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это равенство будет верным, какие бы числа $\text{a}$ и $\text{b}$ мы ни подставили.

• Еще одна формула сокращенного умножения — разность квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Это равенство верно для любого значения угла $\alpha$.

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примеры: $a(b+c) = ab+ac$; $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$; $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$.