Номер 2, страница 179, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Сформулируйте свойства линейного уравнения с двумя переменными.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $\text{x}$ и $\text{y}$ — переменные, а $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ — некоторые числа (коэффициенты), причем по крайней мере один из коэффициентов $\text{a}$ или $\text{b}$ не равен нулю.

Основные свойства линейного уравнения с двумя переменными, которые используются для его преобразования в равносильное уравнение (т.е. уравнение с тем же множеством решений):

Свойство 1: Перенос слагаемых

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование не изменяет множество решений уравнения. Например, в уравнении $3x + 5y = 15$ можно перенести слагаемое $3x$ в правую часть: $5y = 15 - 3x$. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

Ответ: Члены уравнения можно переносить из одной части в другую, меняя их знак на противоположный.

Свойство 2: Умножение или деление на число

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. В результате этого преобразования получается уравнение, равносильное исходному. Например, уравнение $8x - 4y = 20$ можно упростить, разделив обе его части на 4. Мы получим равносильное уравнение $2x - y = 5$.

Ответ: Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.

Кроме свойств, связанных с преобразованиями, выделяют следующие важные характеристики:

Свойство 3: Графическое представление

Графиком линейного уравнения с двумя переменными $ax + by = c$ (при условии, что $\text{a}$ или $\text{b}$ не равно нулю) является прямая линия на координатной плоскости. Каждая точка этой прямой соответствует паре чисел $(x, y)$, которая является решением данного уравнения.

• Если $b \neq 0$, уравнение можно привести к виду $y = kx + m$, где $k = -a/b$ и $m = c/b$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом.
• Если $b = 0$ и $a \neq 0$, уравнение принимает вид $x = c/a$. Его график — прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$).
• Если $a = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $y = c/b$. Его график — прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$).

Ответ: Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.

Свойство 4: Множество решений

Линейное уравнение с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных ($\text{a}$ или $\text{b}$) не равен нулю, имеет бесконечное множество решений. Каждое решение представляет собой пару чисел $(x_0; y_0)$, которая обращает уравнение в верное числовое равенство. Например, для уравнения $x + 2y = 7$ решениями являются пары $(1; 3)$, $(3; 2)$, $(7; 0)$ и так далее до бесконечности. Исключением является случай, когда $a=0$, $b=0$ и $c \neq 0$; такое уравнение ($0 = c$) решений не имеет.

Ответ: Линейное уравнение с двумя переменными, в котором коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, имеет бесконечное множество решений.