Задача 3, страница 53, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Задача 3. Дорогу длиной $21$ км первая бригада рабочих ремонтирует за $\text{8}$ дней, а вторая – за $\text{6}$ дней. Сколько километров дороги отремонтируют первая и вторая бригады, работая совместно? (Производительность обеих бригад в день одинакова.)

А. $\text{9}$ км; $12$ км;

B. $\text{7}$ км; $14$ км;

С. $\text{5}$ км; $16$ км;

D. $\text{8}$ км; $13$ км.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производительность (скорость работы) каждой бригады.

Производительность — это объем работы, выполненный за единицу времени. В данном случае, работа — это ремонт дороги, а время измеряется в днях.

Производительность первой бригады ($V_1$): она ремонтирует 21 км за 8 дней.

$V_1 = \frac{21}{8}$ км/день.

Производительность второй бригады ($V_2$): она ремонтирует 21 км за 6 дней.

$V_2 = \frac{21}{6}$ км/день.

Примечание в скобках "(Производительность обеих бригад в день одинакова)" скорее всего означает, что производительность каждой бригады постоянна в течение всех дней работы, а не то, что $V_1 = V_2$.

2. Найти общую производительность при совместной работе.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = \frac{21}{8} + \frac{21}{6}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (24):

$V_{общ} = \frac{21 \cdot 3}{24} + \frac{21 \cdot 4}{24} = \frac{63}{24} + \frac{84}{24} = \frac{147}{24}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$V_{общ} = \frac{49}{8}$ км/день.

3. Найти время, за которое бригады выполнят всю работу вместе.

Чтобы найти время ($\text{T}$), нужно всю работу (21 км) разделить на общую производительность:

$T = \frac{21}{V_{общ}} = \frac{21}{\frac{49}{8}} = 21 \cdot \frac{8}{49}$

Сократим 21 и 49 на 7:

$T = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7}$ дней.

4. Рассчитать, какой объем работы выполнит каждая бригада за это время.

Чтобы найти, сколько километров отремонтировала первая бригада ($A_1$), нужно ее производительность умножить на общее время работы:

$A_1 = V_1 \cdot T = \frac{21}{8} \cdot \frac{24}{7}$

Сокращаем: 24 и 8 на 8, 21 и 7 на 7.

$A_1 = \frac{3 \cdot \cancel{21}}{\cancel{8}} \cdot \frac{3 \cdot \cancel{8}}{\cancel{7}} = 3 \cdot 3 = 9$ км.

Аналогично для второй бригады ($A_2$):

$A_2 = V_2 \cdot T = \frac{21}{6} \cdot \frac{24}{7}$

Сокращаем: 24 и 6 на 6, 21 и 7 на 7.

$A_2 = \frac{3 \cdot \cancel{21}}{\cancel{6}} \cdot \frac{4 \cdot \cancel{6}}{\cancel{7}} = 3 \cdot 4 = 12$ км.

Проверка: $\text{9}$ км + $12$ км = $21$ км. Общий объем работы сходится.

Таким образом, работая совместно, первая бригада отремонтирует 9 км, а вторая — 12 км. Это соответствует варианту A.

Ответ: А. 9 км; 12 км;