Номер 103, страница 19 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 103, страница 19.

Условие.

103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

Решение.

Решение 2.

Для ответа на этот вопрос проанализируем условия и их следствия. В чемпионате участвуют $16$ команд. Турнир проходит по круговой системе, где каждая команда играет с каждой другой ровно один раз. Следовательно, каждая команда должна сыграть $16 - 1 = 15$ матчей. Так как в каждом туре все команды играют по одному матчу, всего в чемпионате будет 15 туров.

Ключевое условие заключается в том, что каждая команда должна поочередно играть на своем стадионе (дома) и на стадионе соперника (в гостях). Общее количество туров — 15, это нечетное число. Это означает, что для любой команды последовательность мест проведения игр будет либо Дом-Гости-Дом-...-Дом (что составляет 8 домашних и 7 гостевых игр), либо Гости-Дом-Гости-...-Гости (7 домашних и 8 гостевых игр).

Разделим все 16 команд на две группы в зависимости от того, где они проводят свой первый матч в 1-м туре. Назовем их Группа Д (команды, играющие 1-й тур дома) и Группа Г (команды, играющие 1-й тур в гостях).

В каждом туре проводится $16 / 2 = 8$ игр. Это значит, что в любом туре, включая первый, 8 команд играют дома и 8 команд играют в гостях. Таким образом, в Группе Д будет 8 команд, и в Группе Г также будет 8 команд.

Из-за условия чередования игр дома и в гостях, расписание для команд из этих двух групп будет строго определено на все туры:

Команды из Группы Д во всех нечетных турах (1, 3, ..., 15) будут играть дома, а во всех четных турах (2, 4, ..., 14) — в гостях.

Команды из Группы Г, наоборот, во всех нечетных турах будут играть в гостях, а во всех четных — дома.

Теперь рассмотрим две произвольные команды из одной и той же группы, например, Команду А и Команду Б из Группы Д. Согласно правилам чемпионата, они должны сыграть друг с другом в одном из 15 туров. Проверим, возможно ли это.

Пусть их матч назначен на тур с номером $k$.

• Если $k$ — нечетное число, то в этом туре обе команды (А и Б) должны играть дома. Однако в одном матче одна команда является хозяином поля, а другая — гостем. Две "домашние" команды не могут сыграть друг с другом.

• Если $k$ — четное число, то в этом туре обе команды (А и Б) должны играть в гостях. Две "гостевые" команды также не могут сыграть друг с другом.

Таким образом, две команды, принадлежащие к одной и той же группе (обе из Группы Д или обе из Группы Г), не могут встретиться между собой ни в одном из туров. Это напрямую противоречит условию, что "все команды должны сыграть между собой". Каждая команда из Группы Д может сыграть только с 8 командами из Группы Г, но не с остальными 7 командами из своей собственной группы.

Следовательно, составить расписание, удовлетворяющее всем условиям задачи, невозможно.

Ответ: Нет, составить такое расписание невозможно.