Номер 6, страница 23 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 6, страница 23.

Условие.

6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Решение.

Решение 2.

Да, любое составное число можно разложить на простые множители. Это утверждение является следствием Основной теоремы арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что каждое натуральное число, большее 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка следования множителей.

Рассмотрим процесс доказательства этого утверждения для любого составного числа $n$.

1. По определению, составное число — это натуральное число (больше 1), которое имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Это значит, что любое составное число $n$ можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел $a$ и $b$: $n = a \cdot b$, где $1 < a < n$ и $1 < b < n$.

2. Теперь рассмотрим множители $a$ и $b$:

• Если множитель $a$ является простым числом, мы его оставляем.
• Если множитель $a$ является составным числом, мы, в свою очередь, разлагаем его на два меньших множителя.

Аналогично поступаем с множителем $b$.

3. Мы продолжаем этот процесс разложения составных множителей на более мелкие. Поскольку на каждом шаге множители уменьшаются, но остаются натуральными числами больше 1, этот процесс не может быть бесконечным. Он обязательно закончится, когда все полученные множители станут простыми числами (так как простые числа по определению не могут быть разложены на меньшие множители, кроме 1 и самого себя).

Примеры:

• Число 18.

  Это составное число. Представим его как произведение: $18 = 2 \cdot 9$.

  Множитель 2 — простой. Множитель 9 — составной.

  Разложим 9: $9 = 3 \cdot 3$. Оба множителя (3) — простые.

  Следовательно, разложение числа 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

• Число 100.

  Это составное число. Представим его как произведение: $100 = 10 \cdot 10$.

  Оба множителя (10) — составные.

  Разложим каждый из них: $10 = 2 \cdot 5$. Множители 2 и 5 — простые.

  Следовательно, разложение числа 100 на простые множители: $100 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.

Таким образом, любое составное число всегда можно представить в виде уникального набора простых множителей.

Ответ: Да, любое составное число можно разложить на простые множители.