Номер 3, страница 23 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 3, страница 23.

Условие.

3. Почему число $1$ не относят ни к простым, ни к составным числам?

Решение.

Решение 2.

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам по двум основным причинам, которые тесно связаны между собой: из-за формального определения и для сохранения фундаментального принципа в математике.

1. Несоответствие определениям

Сначала вспомним определения простого и составного чисел:

• Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Например, у числа 7 делители только 1 и 7.
• Составное число — это натуральное число, большее 1, которое имеет более двух натуральных делителей. Например, у числа 6 делители 1, 2, 3 и 6.

Теперь проанализируем число 1. У него есть только один натуральный делитель — это само число 1. Таким образом, оно не удовлетворяет ни одному из определений:

• Оно не является простым, так как у него не два делителя, а всего один.
• Оно не является составным, так как у него не более двух делителей.

2. Сохранение Основной теоремы арифметики

Это более глубокая и важная причина. Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число, большее 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Например, число 30 можно разложить на простые множители только одним способом: $30 = 2 \times 3 \times 5$.

А теперь представим, что мы решили считать число 1 простым. Тогда разложение на простые множители перестало бы быть единственным. Мы могли бы записать:

$30 = 2 \times 3 \times 5$

$30 = 1 \times 2 \times 3 \times 5$

$30 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 \times 5$

... и так до бесконечности. Это бы разрушило уникальность разложения, которая является краеугольным камнем всей теории чисел. Чтобы избежать этой проблемы и сохранить Основную теорему арифметики в её простой и мощной форме, математики договорились не считать 1 простым числом.

Ответ: Число 1 не относят ни к простым, ни к составным, потому что оно имеет только один делитель, что не соответствует определению ни простого (ровно два делителя), ни составного (более двух делителей) числа. Кроме того, это необходимо для сохранения единственности разложения чисел на простые множители в Основной теореме арифметики.