Номер 1172, страница 247 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 41. Решение уравнений. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1172, страница 247.

Условие.

1172. Найдите все целые значения $a$, при которых корень уравнения является целым числом:

1) $ax = -14;$

2) $(a - 2)x = 12.$

Решение.

Решение 2.

1)

Дано уравнение $ax = -14$.

Согласно условию, параметр $a$ и корень уравнения $x$ должны быть целыми числами.

Для того чтобы найти корень уравнения, выразим $x$. Прежде всего, рассмотрим случай, когда $a=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -14$, или $0 = -14$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней. Значит, $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ мы можем разделить обе части уравнения на $a$ и получить корень: $x = \frac{-14}{a}$.

Чтобы корень $x$ был целым числом, необходимо, чтобы целое число $a$ было делителем числа -14. Найдем все целые делители числа -14.

Делителями числа 14 являются 1, 2, 7, 14. Целыми делителями числа -14 являются как положительные, так и отрицательные значения этих чисел.

Таким образом, возможные целые значения для $a$ — это все целые делители числа -14: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Перечислим эти значения: -14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14.

Ответ: -14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14.

2)

Дано уравнение $(a - 2)x = 12$.

По условию, параметр $a$ и корень $x$ должны быть целыми числами.

Выразим $x$ из уравнения. Коэффициент при $x$ равен $(a - 2)$. Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 12$, или $0 = 12$, что неверно. Следовательно, при $a=2$ уравнение не имеет корней. Значит, $a \neq 2$.

При $a \neq 2$ корень уравнения равен $x = \frac{12}{a - 2}$.

Для того чтобы корень $x$ был целым числом, необходимо, чтобы знаменатель дроби, $(a - 2)$, был целым делителем числа 12. Поскольку по условию $a$ — целое число, то и $(a - 2)$ также является целым числом.

Найдем все целые делители числа 12. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Теперь для каждого делителя найдем соответствующее значение $a$, решая уравнение $a - 2 = d$, где $d$ — делитель числа 12:
$a - 2 = 1 \implies a = 3$
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
$a - 2 = 2 \implies a = 4$
$a - 2 = -2 \implies a = 0$
$a - 2 = 3 \implies a = 5$
$a - 2 = -3 \implies a = -1$
$a - 2 = 4 \implies a = 6$
$a - 2 = -4 \implies a = -2$
$a - 2 = 6 \implies a = 8$
$a - 2 = -6 \implies a = -4$
$a - 2 = 12 \implies a = 14$
$a - 2 = -12 \implies a = -10$

Таким образом, все целые значения $a$, при которых корень уравнения является целым числом, это: -10, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 14.

Ответ: -10, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 14.