Номер 1180, страница 247 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 41. Решение уравнений. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1180, страница 247.

Условие.

1180. В шахматной доске размером $8 \times 8$ клеток вырезали крайнюю левую верхнюю и крайнюю правую нижнюю клетки. Можно ли оставшуюся часть доски замостить косточками домино, покрывая одной косточкой ровно две клетки доски?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся методом раскраски. Стандартная шахматная доска размером $8 \times 8$ состоит из $64$ клеток, из которых $32$ белые и $32$ черные.

Вырезаются крайняя левая верхняя и крайняя правая нижняя клетки. Определим их цвет. Если пронумеровать строки и столбцы от 1 до 8, то цвет клетки зависит от четности суммы ее координат $(i, j)$. Все клетки, у которых сумма координат $i+j$ имеет одинаковую четность, окрашены в один цвет. Левая верхняя клетка имеет координаты $(1, 1)$, сумма которых равна $1+1=2$ (четное число). Правая нижняя клетка имеет координаты $(8, 8)$, сумма которых равна $8+8=16$ (тоже четное число). Следовательно, обе вырезанные клетки имеют одинаковый цвет.

Допустим, что эти клетки были белого цвета. Тогда на доске изначально было $32$ белые и $32$ черные клетки. После вырезания двух белых клеток на доске останется $32-2=30$ белых клеток и $32$ черные клетки.

Каждая косточка домино покрывает ровно две соседние клетки доски. На шахматной доске любые две соседние (по стороне) клетки всегда окрашены в разные цвета. Это означает, что каждая косточка домино, размещенная на доске, будет покрывать ровно одну белую и одну черную клетку.

Если бы можно было замостить оставшуюся часть доски косточками домино, то для этого понадобилось бы $ (64-2)/2 = 31 $ косточка. Эти $31$ косточка покрыли бы $31$ белую и $31$ черную клетку. Однако на оставшейся части доски имеется $30$ белых и $32$ черных клетки (или наоборот, если вырезанные клетки были черными). В любом случае, количество белых и черных клеток не равно.

Таким образом, возникает противоречие. Невозможно покрыть область с неравным количеством черных и белых клеток фигурами, каждая из которых покрывает по одной клетке каждого цвета. Следовательно, замостить оставшуюся часть доски косточками домино нельзя.

Ответ: нет.