Номер 1333, страница 282 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1333, страница 282.

Условие.

1333. Белочка решила проверить свой запас орехов. Когда она считала их десятками, то не хватило двух орехов до целого числа десятков, а когда начала считать дюжинами, то осталось восемь орехов. Сколько орехов было у белочки, если известно, что их больше 300, но меньше 350?

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — количество орехов у белочки.

Из условия задачи известно, что когда белочка считала орехи десятками, ей не хватило двух орехов до целого числа десятков. Это означает, что если к общему числу орехов добавить 2, то полученное число будет делиться на 10 без остатка. Математически это можно записать как сравнение:

$N + 2 \equiv 0 \pmod{10}$

Что эквивалентно:

$N \equiv -2 \pmod{10}$ или $N \equiv 8 \pmod{10}$.

Это значит, что число $N$ при делении на 10 дает в остатке 8, то есть оканчивается на цифру 8.

Также известно, что когда она считала орехи дюжинами (по 12 штук), то оставалось 8 орехов. Это означает, что число $N$ при делении на 12 также дает в остатке 8.

$N \equiv 8 \pmod{12}$

Итак, мы имеем систему из двух условий:

1. $N$ при делении на 10 дает остаток 8.

2. $N$ при делении на 12 дает остаток 8.

Если число при делении на 10 и на 12 дает один и тот же остаток (в нашем случае 8), то это число при делении на их наименьшее общее кратное (НОК) также будет давать этот остаток.

Найдем НОК для чисел 10 и 12:

$10 = 2 \cdot 5$

$12 = 2^2 \cdot 3$

$НОК(10, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Следовательно, количество орехов $N$ можно представить в виде формулы:

$N = 60k + 8$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

По условию, количество орехов больше 300, но меньше 350:

$300 < N < 350$

Подставим в это неравенство нашу формулу для $N$:

$300 < 60k + 8 < 350$

Вычтем 8 из всех частей неравенства:

$300 - 8 < 60k < 350 - 8$

$292 < 60k < 342$

Теперь разделим все части неравенства на 60, чтобы найти возможное значение для $k$:

$\frac{292}{60} < k < \frac{342}{60}$

$4,86... < k < 5,7$

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, — это $k = 5$.

Теперь найдем точное количество орехов $N$:

$N = 60 \cdot 5 + 8 = 300 + 8 = 308$.

Проверим найденное число:

1. $308 \div 10 = 30$ (остаток 8), значит, до 31 десятка не хватает 2 орехов. Условие выполняется.

2. $308 \div 12 = 25$ (остаток 8). Условие выполняется.

3. $300 < 308 < 350$. Условие выполняется.

Ответ: у белочки было 308 орехов.