Номер 3, страница 286 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 47. Графики. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 3, страница 286.

Условие.

3. Какую цифру надо поставить вместо звёздочки, чтобы число $1845*$ делилось нацело на 9, но не делилось нацело на 6?

Решение.

Решение 2.

Пусть неизвестная цифра, которую нужно поставить вместо звёздочки, — это $x$. Тогда мы имеем число $1845x$. Это число должно удовлетворять двум условиям: оно должно делиться нацело на 9, но не должно делиться нацело на 6.

1. Условие делимости на 9.
Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдём сумму цифр числа $1845x$:
$S = 1 + 8 + 4 + 5 + x = 18 + x$.
Сумма $18 + x$ должна быть кратна 9. Поскольку слагаемое 18 уже делится на 9 ($18 = 2 \cdot 9$), то и $x$ должен быть цифрой, кратной 9. Так как $x$ — это одна цифра, возможны только два варианта: $x=0$ или $x=9$.
Таким образом, мы получили два возможных числа, удовлетворяющих первому условию: 18450 и 18459.

2. Условие "неделимости" на 6.
Согласно признаку делимости на 6, число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3. Следовательно, чтобы число не делилось на 6, оно должно не делиться хотя бы на одно из этих чисел (2 или 3).
Из первого условия мы знаем, что искомое число делится на 9. Любое число, которое делится на 9, также делится и на 3 (так как 9 кратно 3). Значит, наше число в любом случае будет делиться на 3.
Поэтому, чтобы число $1845x$ не делилось на 6, оно не должно делиться на 2.
Признак делимости на 2 гласит, что число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8). Чтобы наше число не делилось на 2, его последняя цифра $x$ должна быть нечётной.

Вывод.
Теперь совместим выводы, полученные из анализа обоих условий.
Из первого условия мы выяснили, что $x$ может быть либо 0, либо 9.
Из второго условия мы выяснили, что $x$ должен быть нечётной цифрой.
Сравниваем двух кандидатов:

• Цифра 0 — чётная. Если подставить 0, число 18450 будет делиться на 2, а значит и на 6. Этот вариант не подходит.
• Цифра 9 — нечётная. Если подставить 9, число 18459 не будет делиться на 2, а значит и на 6. Этот вариант подходит.

Таким образом, единственная цифра, которая удовлетворяет всем условиям задачи, — это 9.

Ответ: 9