Номер 1399, страница 308 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1399, страница 308.

Условие.

1399.Начертите квадрат $ABCD$ со стороной 1 см и проведите его диагонали $AC$ и $BD$. Через точки $B$ и $D$ проведите прямые, перпендикулярные прямой $BD$, а через точки $A$ и $C$ – прямые, параллельные прямой $BD$. Найдите точки пересечения проведённых прямых. Определите вид многоугольника, вершинами которого являются эти точки, и найдите его площадь.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи выполним последовательно все указанные действия.

1. Начертим квадрат $ABCD$ со стороной 1 см и проведем его диагонали $AC$ и $BD$. Из свойств квадрата известно, что его диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Найдем длину диагонали по теореме Пифагора: $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Таким образом, $AC = BD = \sqrt{2}$ см.

2. Проведем четыре прямые согласно условию:
- через точки $A$ и $C$ — прямые, параллельные диагонали $BD$ (обозначим их $l_A$ и $l_C$);
- через точки $B$ и $D$ — прямые, перпендикулярные диагонали $BD$ (обозначим их $l_B$ и $l_D$).

Точки пересечения этих четырех прямых образуют новый многоугольник.

Определите вид многоугольника, вершинами которого являются эти точки

Рассмотрим свойства построенных прямых.
По построению, прямые $l_A$ и $l_C$ параллельны прямой $BD$, следовательно, они параллельны между собой: $l_A \parallel l_C$.
Прямые $l_B$ и $l_D$ перпендикулярны прямой $BD$, следовательно, они также параллельны между собой: $l_B \parallel l_D$.
Многоугольник, образованный пересечением двух пар параллельных прямых, является параллелограммом.

Далее, так как $l_A \parallel BD$, а $l_B \perp BD$, то прямые $l_A$ и $l_B$ перпендикулярны друг другу. Параллелограмм, у которого смежные стороны перпендикулярны, является прямоугольником.

Теперь найдем длины сторон этого прямоугольника.
Длина одной стороны — это расстояние между параллельными прямыми $l_B$ и $l_D$. Эти прямые перпендикулярны отрезку $BD$ и проходят через его концы (точки $B$ и $D$). Следовательно, расстояние между ними равно длине самого отрезка $BD$, то есть $\sqrt{2}$ см.
Длина другой стороны — это расстояние между параллельными прямыми $l_A$ и $l_C$. Диагональ $AC$ исходного квадрата перпендикулярна диагонали $BD$. Так как $l_A$ и $l_C$ параллельны $BD$, то диагональ $AC$ перпендикулярна и этим прямым. Поскольку $l_A$ проходит через точку $A$, а $l_C$ — через точку $C$, расстояние между ними равно длине отрезка $AC$, которая также равна $\sqrt{2}$ см.

Так как у полученного прямоугольника смежные стороны равны ($\sqrt{2}$ см), то он является квадратом.

Ответ: квадрат.

и найдите его площадь

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. В нашем случае сторона полученного квадрата равна $\sqrt{2}$ см.

Вычислим площадь:
$S = (\sqrt{2})^2 = 2$ см².

Ответ: 2 см².