Номер 1403, страница 308 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1403, страница 308.

Условие.

1403. Постройте квадрат $ABCD$, сторона которого равна 2 см. Через вершину $D$ проведите прямую, параллельную прямой $AC$. Постройте фигуру, симметричную данному квадрату относительно проведённой прямой.

Решение.

Решение 2.

Решение задачи выполняется в три этапа: построение квадрата, построение оси симметрии и построение симметричной фигуры.

1. Построение квадрата ABCD

1. С помощью линейки строим отрезок AD длиной 2 см.
2. В точке D строим перпендикулярный ему отрезок DC длиной 2 см. Для этого можно использовать угольник или циркуль.
3. Из точки A проводим дугу окружности радиусом 2 см, а из точки C — дугу окружности таким же радиусом. Точка пересечения этих дуг будет вершиной B.
4. Соединяем отрезками точки A и B, а также C и B. Фигура ABCD — искомый квадрат со стороной 2 см.

2. Проведение прямой через вершину D, параллельной прямой AC

Обозначим искомую прямую как $l$.
1. Соединяем точки A и C, чтобы получить диагональ AC.
2. Чтобы построить прямую $l$, проходящую через D и параллельную AC, можно воспользоваться следующим методом. Введем систему координат с началом в точке D(0, 0), так что ось Ox совпадает с лучом DC, а ось Oy — с лучом DA. В этой системе вершины будут иметь координаты: D(0, 0), C(2, 0), A(0, 2).
3. Прямая AC проходит через точки A(0, 2) и C(2, 0). Ее угловой коэффициент $k$ равен $k = (0-2)/(2-0) = -1$. Уравнение прямой AC: $y-0 = -1(x-2)$, то есть $y = -x + 2$.
4. Искомая прямая $l$ проходит через начало координат D(0, 0) и параллельна AC, значит, она имеет тот же угловой коэффициент $k = -1$. Ее уравнение: $y = -x$.
5. Прямая $y = -x$ является биссектрисой угла, образованного положительным направлением оси Ox (луч DC) и отрицательным направлением оси Oy (луч, противоположный DA).
Алгоритм построения прямой $l$:
1. Продлеваем сторону AD за точку D.
2. Строим биссектрису прямого угла, образованного лучом DC и лучом, противоположным лучу DA. Эта биссектриса и есть искомая прямая $l$.

3. Построение фигуры, симметричной данному квадрату относительно проведённой прямой

Нужно построить квадрат A'B'C'D', симметричный квадрату ABCD относительно прямой $l$. Для этого найдем точки, симметричные каждой вершине квадрата.
1. Построение D': Точка D лежит на оси симметрии $l$, поэтому она отображается сама в себя: D' совпадает с D.
2. Построение C': Опускаем перпендикуляр из точки C на прямую $l$. Треугольник, образованный точкой C, точкой D и основанием перпендикуляра на прямой $l$, является равнобедренным прямоугольным. Симметричная точка C' будет лежать на луче, противоположном DA, на расстоянии 2 см от точки D. Таким образом, точка C' — это такая точка, что отрезок DC' перпендикулярен DC и равен ему по длине ($DC' = 2$ см).
3. Построение A': Аналогично, точка A' будет лежать на луче, противоположном DC, на расстоянии 2 см от точки D. То есть, отрезок DA' перпендикулярен DA и $DA' = 2$ см.
4. Построение B': Чтобы найти точку B', симметричную B, опускаем перпендикуляр из B на прямую $l$. Легко заметить, что этот перпендикуляр проходит через точку D. Точка D является серединой отрезка BB'. Таким образом, B' — это точка, симметричная B относительно центра D.
5. Соединяем точки A', B', C', D' (которая совпадает с D). Полученный квадрат A'B'C'D' — искомая фигура.

Ответ: Для решения задачи необходимо выполнить следующие построения:

1. Построить квадрат ABCD со стороной 2 см.
2. Провести диагональ AC.
3. Построить прямую $l$, проходящую через точку D параллельно AC. Эта прямая является биссектрисой угла, смежного с углом $\angle ADC$.
4. Построить квадрат A'B'C'D', симметричный квадрату ABCD относительно прямой $l$. Его вершины строятся следующим образом:
   • Вершина D' совпадает с D.
   • Вершина A' симметрична A, она лежит на продолжении луча CD за точку D, и $DA' = DA = 2$ см.
   • Вершина C' симметрична C, она лежит на продолжении луча AD за точку D, и $DC' = DC = 2$ см.
   • Вершина B' симметрична B относительно точки D.

Итоговая фигура — это квадрат A'B'C'D', равный исходному и имеющий с ним одну общую вершину D.