Номер 1401, страница 308 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1401, страница 308.

Условие.

1401. Сторона квадрата $ABCD$ равна 4 см. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата $ABCD$.

Решение.

Решение 2.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a = 4$ см. Обозначим середины его сторон точками $E$, $F$, $G$ и $H$, которые являются вершинами искомого четырехугольника. Пусть $E$ – середина $AB$, $F$ – середина $BC$, $G$ – середина $CD$, и $H$ – середина $DA$.

Для решения задачи можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Вычитание площадей

1. Сначала найдем площадь исходного квадрата $ABCD$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.
$S_{ABCD} = 4^2 = 16$ см².

2. Построенный четырехугольник $EFGH$ отсекает от углов квадрата $ABCD$ четыре прямоугольных треугольника: $\triangle HAE$, $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ и $\triangle GDH$.

3. Так как точки $E, F, G, H$ являются серединами сторон, то катеты этих треугольников равны половине стороны квадрата:
$AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA = \frac{4}{2} = 2$ см.

4. Все четыре треугольника равны между собой, так как они прямоугольные и имеют одинаковые катеты. Найдем площадь одного из них, например $\triangle HAE$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{\triangle HAE} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ см².

5. Суммарная площадь всех четырех угловых треугольников равна:
$S_{угл} = 4 \cdot S_{\triangle HAE} = 4 \cdot 2 = 8$ см².

6. Площадь искомого четырехугольника $EFGH$ можно найти, вычтя из площади большого квадрата $ABCD$ суммарную площадь четырех треугольников:
$S_{EFGH} = S_{ABCD} - S_{угл} = 16 - 8 = 8$ см².

Способ 2: Определение вида четырехугольника и вычисление его площади

1. Определим вид четырехугольника $EFGH$. Его стороны являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников ($\triangle HAE$, $\triangle EBF$ и т.д.). Найдем длину стороны $HE$ по теореме Пифагора в треугольнике $\triangle HAE$:
$HE^2 = AH^2 + AE^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ см².
$HE = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Поскольку все угловые треугольники равны, все стороны четырехугольника $EFGH$ также равны ($HE = EF = FG = GH$), значит, $EFGH$ — это ромб.

3. Рассмотрим диагонали этого ромба. Диагональ $HF$ соединяет середины противоположных сторон $AD$ и $BC$. Длина этого отрезка равна длине стороны квадрата, которой он параллелен. Таким образом, $HF = AB = 4$ см. Аналогично, диагональ $EG$ соединяет середины сторон $AB$ и $CD$, и ее длина равна $EG = AD = 4$ см.

4. Так как диагонали ромба $EFGH$ равны ($HF = EG = 4$ см), то этот ромб является квадратом.

5. Площадь квадрата $EFGH$ можно вычислить двумя способами:
а) Как квадрат его стороны: $S_{EFGH} = HE^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$ см².
б) Как половина произведения его диагоналей: $S_{EFGH} = \frac{1}{2} \cdot HF \cdot EG = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 8 см².