Номер 1402, страница 308 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1402, страница 308.

Условие.

1402.Постройте фигуру, симметричную ломаной ABCD (рис. 3) относительно:

1) точки C;

2) точки D.

Рис. 3

Решение.

Решение 2.

Для построения фигуры, симметричной ломаной линии относительно точки, необходимо построить точки, симметричные каждой вершине ломаной относительно этого центра симметрии. Затем соединить полученные точки в том же порядке.

Точка $M_1$ называется симметричной точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM_1$.

1) точки C

Построим фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно точки $C$. Для этого найдем точки $A'$, $B'$, $D'$, симметричные точкам $A$, $B$, $D$ соответственно. Точка $C$ симметрична сама себе, то есть $C' = C$.

• Для нахождения точки $B'$, симметричной точке $B$ относительно $C$, проведем луч $BC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CB'$ такой, что $|CB'| = |BC|$.

• Для нахождения точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно $C$, проведем луч $DC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CD'$ такой, что $|CD'| = |DC|$. Поскольку отрезок $DC$ на исходном рисунке является вертикальным и направлен вниз от $C$, отрезок $CD'$ будет вертикальным и направлен вверх от $C$.

• Для нахождения точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно $C$, проведем луч $AC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CA'$ такой, что $|CA'| = |AC|$.

Искомая фигура — это ломаная $A'B'C'D'$, состоящая из отрезков $A'B'$, $B'C'$ и $C'D'$. Так как $C' = C$, то это ломаная $A'B'CD'$.

В результате центральной симметрии относительно точки $C$ (правого верхнего угла исходной фигуры) ломаная $ABCD$, имеющая форму перевернутой буквы «П», преобразуется в фигуру, напоминающую букву Z с прямыми углами.

Ответ: Чтобы построить симметричную фигуру, нужно для каждой вершины $A, B, D$ исходной ломаной найти симметричную ей точку $A', B', D'$ относительно центра $C$ (точка $C$ отобразится в себя). Это делается путем продления отрезков $AC, BC, DC$ за точку $C$ на их длину. Полученные точки $A', B', C, D'$ соединяются в ломаную $A'B'CD'$.

2) точки D

Построим фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно точки $D$. Для этого найдем точки $A''$, $B''$, $C''$, симметричные точкам $A$, $B$, $C$ соответственно. Точка $D$ симметрична сама себе, то есть $D'' = D$.

• Для нахождения точки $A''$, симметричной точке $A$ относительно $D$, проведем луч $AD$ и отложим на нем от точки $D$ отрезок $DA''$ такой, что $|DA''| = |AD|$. Поскольку $AD$ на исходном рисунке — горизонтальный отрезок, $A''$ будет лежать на той же горизонтали, что и $A$ и $D$.

• Для нахождения точки $C''$, симметричной точке $C$ относительно $D$, проведем луч $CD$ и отложим на нем от точки $D$ отрезок $DC''$ такой, что $|DC''| = |CD|$. Поскольку $CD$ — вертикальный отрезок, $C''$ будет лежать на той же вертикали, что и $C$ и $D$.

• Для нахождения точки $B''$, симметричной точке $B$ относительно $D$, проведем луч $BD$ и отложим на нем от точки $D$ отрезок $DB''$ такой, что $|DB''| = |BD|$.

Искомая фигура — это ломаная $A''B''C''D''$, состоящая из отрезков $A''B''$, $B''C''$ и $C''D''$. Так как $D'' = D$, то это ломаная $A''B''C''D$.

В результате центральной симметрии относительно точки $D$ (правого нижнего угла исходной фигуры) ломаная $ABCD$, имеющая форму перевернутой буквы «П», преобразуется в фигуру, имеющую форму буквы «П».

Ответ: Чтобы построить симметричную фигуру, нужно для каждой вершины $A, B, C$ исходной ломаной найти симметричную ей точку $A'', B'', C''$ относительно центра $D$ (точка $D$ отобразится в себя). Это делается путем продления отрезков $AD, BD, CD$ за точку $D$ на их длину. Полученные точки $A'', B'', C'', D$ соединяются в ломаную $A''B''C''D$.