Номер 1406, страница 309 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1406, страница 309.

Условие.

1406.Постройте окружность с центром в начале координат, проходящую через точку $( -3; 4 )$. Найдите координаты точек пересечения этой окружности с осями координат и вычислите длину окружности в единичных отрезках координатных осей.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи последовательно выполним три шага: найдем уравнение окружности, определим точки ее пересечения с осями и вычислим ее длину.

1. Нахождение уравнения окружности.

Уравнение окружности с центром в начале координат, точке O(0; 0), имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ — это радиус окружности.

По условию, окружность проходит через точку A с координатами (-3; 4). Радиус окружности равен расстоянию от ее центра O(0; 0) до точки A(-3; 4). Вычислим это расстояние по формуле:

$r = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Итак, радиус окружности $r=5$. Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 5^2$, или $x^2 + y^2 = 25$. Для построения окружности следует начертить на координатной плоскости окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 5 единичных отрезков.

2. Нахождение координат точек пересечения с осями.

Чтобы найти точки пересечения окружности с осью абсцисс (осью Ox), нужно в ее уравнение подставить значение $y=0$:

$x^2 + 0^2 = 25$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Следовательно, координаты точек пересечения с осью Ox: (5; 0) и (-5; 0).

Чтобы найти точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно в уравнение окружности подставить значение $x=0$:

$0^2 + y^2 = 25$

$y^2 = 25$

$y_1 = 5$, $y_2 = -5$

Следовательно, координаты точек пересечения с осью Oy: (0; 5) и (0; -5).

3. Вычисление длины окружности.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Мы уже определили, что радиус $r=5$. Подставим это значение в формулу:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi$.

Ответ: Координаты точек пересечения окружности с осями координат: (5; 0), (-5; 0), (0; 5) и (0; -5). Длина окружности составляет $10\pi$ единичных отрезков.