Номер 1405, страница 309 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1405, страница 309.

Условие.

1405. Начертите на координатной плоскости отрезки $AB$ и $CD$ такие, что $A (1; -2)$, $B (4; 4)$, $C (5; -1)$, $D (-1; 1)$. Найдите координаты точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения координат точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$ сначала найдём уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки. Затем решим систему этих уравнений, чтобы найти точку их пересечения. Наконец, мы проверим, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам.

1. Найдём уравнение прямой AB.

Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $A(1; -2)$ и $B(4; 4)$:

$\frac{y - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{x - 1}{4 - 1}$

$\frac{y + 2}{6} = \frac{x - 1}{3}$

Умножим обе части уравнения на 6:

$y + 2 = 2(x - 1)$

$y + 2 = 2x - 2$

$y = 2x - 4$

2. Найдём уравнение прямой CD.

Подставим координаты точек $C(5; -1)$ и $D(-1; 1)$ в ту же формулу:

$\frac{y - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{x - 5}{-1 - 5}$

$\frac{y + 1}{2} = \frac{x - 5}{-6}$

Умножим обе части уравнения на -6:

$-3(y + 1) = x - 5$

$-3y - 3 = x - 5$

$3y = -x + 2$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

3. Найдём точку пересечения прямых.

Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 3:

$3(2x - 4) = 3(-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3})$

$6x - 12 = -x + 2$

$6x + x = 12 + 2$

$7x = 14$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

Координаты точки пересечения прямых — $(2; 0)$.

4. Проверим, принадлежит ли точка (2; 0) обоим отрезкам.

Точка принадлежит отрезку, если её координаты находятся между соответствующими координатами концов отрезка.

Для отрезка $AB$ с концами $A(1; -2)$ и $B(4; 4)$: координата $x=2$ находится в диапазоне $[1; 4]$, а координата $y=0$ — в диапазоне $[-2; 4]$. Значит, точка $(2; 0)$ лежит на отрезке $AB$.

Для отрезка $CD$ с концами $C(5; -1)$ и $D(-1; 1)$: координата $x=2$ находится в диапазоне $[-1; 5]$, а координата $y=0$ — в диапазоне $[-1; 1]$. Значит, точка $(2; 0)$ лежит на отрезке $CD$.

Поскольку точка $(2; 0)$ принадлежит обоим отрезкам, она является точкой их пересечения.

Ответ: $(2; 0)$.