Номер 1410, страница 309 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1410, страница 309.

Условие.

1410. Скопируйте в тетрадь рисунок 4. Постройте фигуру, симметричную данной относительно оси ординат.

Рис. 4

$y$

$x$

0

1

1

Решение.

Решение 2.

Для построения фигуры, симметричной данной относительно оси ординат (оси OY), необходимо каждую точку исходной фигуры с координатами $(x; y)$ отобразить в новую точку с координатами $(-x; y)$. Это означает, что для каждой точки координата $y$ остаётся прежней, а координата $x$ меняет свой знак на противоположный.

Процесс построения можно разбить на три шага:

1. Определение координат вершин исходной фигуры

Сначала определим координаты ключевых точек (вершин) фигуры, изображённой на рисунке, приняв одну клетку за единичный отрезок.

• Вершины прямоугольника в нижней части фигуры: $(2; -4)$, $(4; -4)$, $(4; -1)$, $(2; -1)$.
• Вершины шестиугольника ("фонаря") в верхней части фигуры: $(3; 2)$, $(3; 3)$, $(4; 4)$, $(5; 3)$, $(5; 2)$, $(4; 1)$.
• Крайние точки вертикального отрезка ("столба"): $(3; -4)$ и $(3; 6)$.
• Крайние точки горизонтального отрезка ("перекладины"): $(2; 5)$ и $(4; 5)$.

2. Вычисление координат вершин симметричной фигуры

Теперь, используя правило симметрии $(x; y) \rightarrow (-x; y)$, найдём координаты соответствующих вершин для новой фигуры.

• Вершины симметричного прямоугольника:
  • $(2; -4) \rightarrow (-2; -4)$
  • $(4; -4) \rightarrow (-4; -4)$
  • $(4; -1) \rightarrow (-4; -1)$
  • $(2; -1) \rightarrow (-2; -1)$
• Вершины симметричного шестиугольника:
  • $(3; 2) \rightarrow (-3; 2)$
  • $(3; 3) \rightarrow (-3; 3)$
  • $(4; 4) \rightarrow (-4; 4)$
  • $(5; 3) \rightarrow (-5; 3)$
  • $(5; 2) \rightarrow (-5; 2)$
  • $(4; 1) \rightarrow (-4; 1)$
• Крайние точки симметричного вертикального отрезка:
  • $(3; -4) \rightarrow (-3; -4)$
  • $(3; 6) \rightarrow (-3; 6)$
• Крайние точки симметричного горизонтального отрезка:
  • $(2; 5) \rightarrow (-2; 5)$
  • $(4; 5) \rightarrow (-4; 5)$

3. Построение симметричной фигуры

Для построения искомой фигуры необходимо нанести на координатную плоскость новые точки с вычисленными координатами и соединить их в том же порядке, что и в исходной фигуре:

1. Соединить последовательно точки $(-2; -4)$, $(-4; -4)$, $(-4; -1)$, $(-2; -1)$ и снова $(-2; -4)$, чтобы получить прямоугольник.
2. Соединить последовательно точки $(-3; 2)$, $(-3; 3)$, $(-4; 4)$, $(-5; 3)$, $(-5; 2)$, $(-4; 1)$ и снова $(-3; 2)$, чтобы получить шестиугольник.
3. Провести вертикальный отрезок, соединяющий точки $(-3; -4)$ и $(-3; 6)$.
4. Провести горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-2; 5)$ и $(-4; 5)$.

Полученная фигура будет являться зеркальным отражением исходной фигуры относительно оси ординат.

Ответ:

Для построения фигуры, симметричной данной относительно оси ординат, необходимо отразить все ее ключевые точки. Если исходная точка имеет координаты $(x; y)$, то симметричная ей точка будет иметь координаты $(-x; y)$. Координаты вершин и крайних точек отрезков для симметричной фигуры следующие: вершины прямоугольника — $(-2; -4)$, $(-4; -4)$, $(-4; -1)$, $(-2; -1)$; вершины шестиугольника — $(-3; 2)$, $(-3; 3)$, $(-4; 4)$, $(-5; 3)$, $(-5; 2)$, $(-4; 1)$; крайние точки вертикального отрезка — $(-3; -4)$ и $(-3; 6)$; крайние точки горизонтального отрезка — $(-2; 5)$ и $(-4; 5)$. Построив эти точки и соединив их в соответствующем порядке, получим искомую симметричную фигуру.