Номер 4, страница 12 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Делимость натуральных чисел. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Вопросы в параграфе - номер 4, страница 12.

Условие.

4. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 2 или нет?

Решение.

Решение 2.

Чтобы по записи натурального числа установить, делится ли оно нацело на 2, необходимо посмотреть на его последнюю цифру.

• Если последняя цифра числа чётная, то есть 0, 2, 4, 6 или 8, то всё число делится на 2 без остатка. Такие числа называются чётными.
• Если последняя цифра числа нечётная, то есть 1, 3, 5, 7 или 9, то всё число не делится на 2 нацело. Такие числа называются нечётными.

Математическое обоснование

Это правило основано на свойствах десятичной системы счисления. Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Например, число, состоящее из цифр $a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0$, можно записать как:$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10^1 + a_0$где $a_0$ — это последняя цифра числа (разряд единиц), $a_1$ — предпоследняя (разряд десятков) и так далее.

Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего ($a_0$), содержат множитель 10 или его степень ($100, 1000, \dots$). Мы можем вынести 10 за скобки для всех этих слагаемых:$N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1) + a_0$

Первое слагаемое, $10 \cdot (\dots)$, всегда делится на 2 без остатка, потому что множитель 10 делится на 2 ($10 = 2 \cdot 5$). Следовательно, делимость всей суммы $N$ на 2 полностью зависит от того, делится ли на 2 второе слагаемое, то есть последняя цифра $a_0$.

Если $a_0$ — это 0, 2, 4, 6 или 8, то она делится на 2, а значит, и всё число $N$ делится на 2. Если же $a_0$ — это 1, 3, 5, 7 или 9, то она не делится на 2, и, следовательно, всё число $N$ также не делится на 2.

Примеры

• Число 1578: последняя цифра — 8. Цифра 8 является чётной, значит, число 1578 делится на 2 ($1578 \div 2 = 789$).
• Число 943: последняя цифра — 3. Цифра 3 является нечётной, значит, число 943 не делится на 2 нацело ($943 \div 2 = 471.5$).
• Число 12340: последняя цифра — 0. Цифра 0 является чётной, значит, число 12340 делится на 2 ($12340 \div 2 = 6170$).

Ответ: Натуральное число делится нацело на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Если последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9, то число не делится на 2 нацело.