Номер 5, страница 12 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 5, страница 12.

Условие.

5. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на $5$ или нет?

Решение.

Решение 2.

Чтобы по записи натурального числа установить, делится ли оно нацело на 5, нужно посмотреть на его последнюю цифру.

Признак делимости на 5:

Натуральное число делится нацело на 5 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0 или 5. Если последняя цифра числа любая другая (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 или 9), то число не делится на 5 без остатка.

Объяснение правила:

Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы двух слагаемых: числа, состоящего из всех его цифр, кроме последней, умноженного на 10, и самой последней цифры. Например, число 347 можно записать как $340 + 7$, или $34 \cdot 10 + 7$.

В общем виде, если последняя цифра числа $N$ это $d_0$, то число можно представить как $N = 10k + d_0$, где $k$ — это целое число, образованное всеми предыдущими цифрами.

Рассмотрим эту сумму: $10k + d_0$. Первое слагаемое, $10k$, всегда делится на 5 без остатка, потому что множитель 10 делится на 5 ($10 = 2 \cdot 5$).

Согласно свойству делимости суммы, если одно слагаемое (в нашем случае $10k$) делится на 5, то вся сумма будет делиться на 5 только в том случае, если и второе слагаемое ($d_0$) тоже делится на 5.

Последняя цифра $d_0$ может быть любым числом от 0 до 9. Из этих цифр на 5 делятся только 0 и 5.

Следовательно, все число $N$ делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра ($d_0$) — это 0 или 5.

Примеры:

• Число 1390 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5. ($1390 : 5 = 278$)
• Число 765 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. ($765 : 5 = 153$)
• Число 2023 оканчивается на 3, следовательно, оно не делится на 5 нацело. ($2023 : 5 = 404.6$)

Ответ: Натуральное число делится нацело на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5. Если его запись оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5 нацело.