Номер 3, страница 49 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 8. Сокращение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 3, страница 49.

Условие.

3. На какое число надо сократить дробь, чтобы получилась несократимая дробь?

Решение.

Решение 2.

Чтобы в результате сокращения обыкновенной дроби получилась несократимая дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Пояснение:

1. Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1. В результате получается новая дробь, равная исходной.

2. Несократимая дробь — это такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Такую дробь нельзя сократить дальше.

3. Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это самое большое натуральное число, на которое оба этих числа делятся без остатка. Когда мы сокращаем дробь на НОД числителя и знаменателя, мы "убираем" все общие множители за один шаг. В результате у нового числителя и знаменателя не остается общих делителей, кроме 1, что и делает дробь несократимой.

Пример:

Возьмем дробь $ \frac{18}{30} $.

Найдем наибольший общий делитель для чисел 18 и 30.

Разложим числа на простые множители:

$ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 $

$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $

Общие множители — это 2 и 3. Чтобы найти НОД, перемножим их:

$ НОД(18, 30) = 2 \cdot 3 = 6 $

Теперь сократим дробь $ \frac{18}{30} $ на их НОД, то есть на 6:

$ \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5} $

В полученной дроби $ \frac{3}{5} $ числитель (3) и знаменатель (5) являются взаимно простыми числами ($ НОД(3, 5) = 1 $), следовательно, эта дробь несократимая. Если бы мы сократили исходную дробь на другой общий делитель, например на 2, то получили бы $ \frac{9}{15} $, которую все еще можно сократить на 3.

Ответ: Чтобы получилась несократимая дробь, исходную дробь надо сократить на наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя.