Номер 1, страница 244 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 41. Решение уравнений. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1, страница 244.

Условие.

1. Какое уравнение получится, если к обеим частям данного уравнения прибавить одно и то же число?

Решение.

Решение 2.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится новое уравнение, которое будет равносильно (или эквивалентно) исходному. Равносильные уравнения — это уравнения, которые имеют одинаковые корни (решения) или вовсе не имеют корней.

Это одно из основных свойств уравнений, которое позволяет выполнять их тождественные преобразования при поиске решения.

Рассмотрим это свойство в общем виде. Пусть дано уравнение:
$A(x) = B(x)$

где $A(x)$ и $B(x)$ — это выражения, содержащие переменную $x$. Прибавим к обеим частям этого уравнения произвольное число $c$:
$A(x) + c = B(x) + c$

Полученное уравнение $A(x) + c = B(x) + c$ будет равносильно исходному. Это означает, что любое значение $x$, которое обращает исходное уравнение в верное числовое равенство, будет также являться корнем и для нового уравнения, и наоборот.

Пример:

Возьмем уравнение:
$2x - 5 = 11$

Найдем его корень:
$2x = 11 + 5$
$2x = 16$
$x = 8$

Теперь вернемся к исходному уравнению $2x - 5 = 11$ и прибавим к обеим его частям одно и то же число, например, 5:
$(2x - 5) + 5 = 11 + 5$

Упростим полученное выражение:
$2x = 16$

Решим новое уравнение:
$x = 16 / 2$
$x = 8$

Как мы видим, корень уравнения не изменился. Следовательно, мы получили равносильное уравнение.

Ответ: Получится уравнение, равносильное (эквивалентное) данному.