Номер 3, страница 244 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 41. Решение уравнений. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 3, страница 244.

Условие.

3. Какое уравнение получится, если умножить или разделить обе части данного уравнения на одно и то же отличное от нуля число?

Решение.

Решение 2.

Если умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число, получится равносильное (эквивалентное) уравнение.

Равносильными называются уравнения, множества решений (корней) которых совпадают. Это означает, что новое уравнение будет иметь те же самые корни, что и исходное. Данное свойство является одним из основных при решении уравнений.

Рассмотрим это свойство в общем виде.

Пусть имеется уравнение: $f(x) = g(x)$.

И пусть есть некоторое число $c$, такое что $c \neq 0$.

Умножение

При умножении обеих частей уравнения на $c$ получаем новое уравнение:

$c \cdot f(x) = c \cdot g(x)$

Это преобразование является равносильным. Если $x_0$ — корень исходного уравнения, то числовое равенство $f(x_0) = g(x_0)$ является верным. Умножая верное равенство на число $c$, мы снова получаем верное равенство $c \cdot f(x_0) = c \cdot g(x_0)$, а значит, $x_0$ является и корнем нового уравнения. Так как $c \neq 0$, можно выполнить и обратное преобразование (разделить на $c$), поэтому любое решение нового уравнения будет решением и старого.

Деление

При делении обеих частей уравнения на $c$ получаем:

$\frac{f(x)}{c} = \frac{g(x)}{c}$

Это преобразование также является равносильным по тем же причинам, что и умножение.

Пример

Возьмем уравнение $4x + 8 = 20$.

Решим его: $4x = 20 - 8$, $4x = 12$, $x = 3$. Корень уравнения — 3.

Теперь умножим обе части уравнения, например, на 2:

$2 \cdot (4x + 8) = 2 \cdot 20$

$8x + 16 = 40$

Решим новое уравнение: $8x = 40 - 16$, $8x = 24$, $x = 3$. Корень остался прежним.

Теперь разделим обе части исходного уравнения на 4:

$\frac{4x + 8}{4} = \frac{20}{4}$

$x + 2 = 5$

Решим это уравнение: $x = 5 - 2$, $x = 3$. Корень снова не изменился.

Ответ: Получится равносильное (эквивалентное) уравнение, то есть уравнение, которое имеет то же самое множество корней, что и исходное.