Номер 261, страница 57 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 261, страница 57.

Условие.

261. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $\frac{x}{17} < \frac{8}{51};$

2) $\frac{x}{65} < \frac{1}{13};$

3) $\frac{x}{5} < \frac{3}{15};$

4) $\frac{1}{16} < \frac{x}{8}.$

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы решить неравенство $ \frac{x}{17} < \frac{8}{51} $, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 17 и 51 – это 51, так как $ 51 = 17 \cdot 3 $.

Умножим числитель и знаменатель левой дроби на 3:

$ \frac{x \cdot 3}{17 \cdot 3} < \frac{8}{51} $

$ \frac{3x}{51} < \frac{8}{51} $

Поскольку знаменатели дробей равны и положительны, мы можем сравнить их числители:

$ 3x < 8 $

Теперь найдем $x$:

$ x < \frac{8}{3} $

$ x < 2\frac{2}{3} $

По условию, $x$ – натуральное число. Натуральные числа, которые меньше $2\frac{2}{3}$, это 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

2) Чтобы решить неравенство $ \frac{x}{65} < \frac{1}{13} $, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 65 и 13 – это 65, так как $ 65 = 13 \cdot 5 $.

Умножим числитель и знаменатель правой дроби на 5:

$ \frac{x}{65} < \frac{1 \cdot 5}{13 \cdot 5} $

$ \frac{x}{65} < \frac{5}{65} $

Сравним числители дробей:

$ x < 5 $

Натуральные значения $x$, удовлетворяющие этому условию: 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

3) Рассмотрим неравенство $ \frac{x}{5} < \frac{3}{15} $. Сначала упростим правую часть неравенства, сократив дробь на 3:

$ \frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5} $

Теперь неравенство имеет вид:

$ \frac{x}{5} < \frac{1}{5} $

Так как знаменатели равны, сравниваем числители:

$ x < 1 $

По определению, натуральные числа – это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Не существует натуральных чисел, которые меньше 1.

Ответ: нет натуральных решений.

4) Чтобы решить неравенство $ \frac{1}{16} < \frac{x}{8} $, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 8 – это 16.

Умножим числитель и знаменатель правой дроби на 2:

$ \frac{1}{16} < \frac{x \cdot 2}{8 \cdot 2} $

$ \frac{1}{16} < \frac{2x}{16} $

Сравниваем числители:

$ 1 < 2x $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$ \frac{1}{2} < x $ или $ x > \frac{1}{2} $

Нам нужно найти все натуральные значения $x$, которые больше $ \frac{1}{2} $. Этому условию удовлетворяют все натуральные числа, начиная с 1.

Ответ: любое натуральное число.