Номер 268, страница 57 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 268, страница 57.

Условие.

268. Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе и тщательно размешивают. После этого одну ложку смеси переливают в чашку с молоком. Чего теперь больше: кофе в чашке с молоком или молока в чашке с кофе?

Решение.

Решение 2.

Для ответа на этот вопрос можно подойти двумя способами: с помощью логических рассуждений или через математические вычисления. Оба способа приводят к одинаковому результату.

Логическое решение

Ключевым моментом является то, что в начале и в конце эксперимента объемы жидкостей в обеих чашках одинаковы. Мы взяли ложку жидкости из одной чашки и вернули такой же объем (одну ложку) обратно.

Рассмотрим чашку, в которой изначально было только молоко. По окончании всех действий в ней оказалось некоторое количество кофе. Это кофе заместило (вытеснило) из чашки точно такой же объем жидкости, которая в ней была изначально, то есть молока.

Это "вытесненное" молоко никуда не исчезло, оно должно было оказаться в другой чашке — той, что изначально была с кофе.

Таким образом, объем кофе, оказавшийся в чашке с молоком, в точности равен объему молока, которое теперь находится в чашке с кофе.

Математическое доказательство

Пусть $V$ — начальный объем жидкости в каждой чашке, а $v$ — объем ложки.

1. Первое действие: ложку молока ($v$) переливают в чашку с кофе.

• В чашке с молоком остается: $V - v$ молока.
• В чашке с кофе становится: $V$ кофе и $v$ молока. Общий объем — $V + v$.

2. Второе действие: ложку смеси ($v$) переливают обратно в чашку с молоком.

Концентрация кофе в смеси, из которой зачерпывают ложку, равна $C_{кофе} = \frac{V}{V+v}$.

Концентрация молока в этой же смеси равна $C_{молока} = \frac{v}{V+v}$.

Следовательно, в ложке смеси, которую переливают обратно, содержится:

• Кофе: $v_{кофе} = v \cdot C_{кофе} = \frac{Vv}{V+v}$. Это и есть то количество кофе, которое попало в чашку с молоком.
• Молока: $v_{молока} = v \cdot C_{молока} = \frac{v^2}{V+v}$.

3. Подсчет итоговых объемов:

• Количество кофе в чашке с молоком равно тому, сколько его принесли со второй ложкой: $\frac{Vv}{V+v}$.
• Количество молока в чашке с кофе. Изначально туда добавили $v$ молока, а затем забрали $v_{молока} = \frac{v^2}{V+v}$. В итоге в чашке с кофе осталось: $v - \frac{v^2}{V+v} = \frac{v(V+v) - v^2}{V+v} = \frac{Vv + v^2 - v^2}{V+v} = \frac{Vv}{V+v}$.

Сравнив результаты, мы видим, что количество кофе в чашке с молоком ($\frac{Vv}{V+v}$) и количество молока в чашке с кофе ($\frac{Vv}{V+v}$) абсолютно одинаковы.

Ответ: Количество кофе в чашке с молоком равно количеству молока в чашке с кофе.