Номер 269, страница 60 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 269, страница 60.

Условие.

269. Вычислите:

1) $\frac{3}{7} + \frac{4}{9}$;

2) $\frac{8}{9} - \frac{7}{8}$;

3) $\frac{13}{15} - \frac{2}{3}$;

4) $\frac{20}{21} + \frac{3}{7}$;

5) $\frac{17}{18} - \frac{11}{12}$;

6) $\frac{7}{16} + \frac{1}{6}$;

7) $\frac{2}{9} + \frac{5}{6}$;

8) $\frac{10}{21} + \frac{9}{14}$;

9) $\frac{7}{9} - \frac{4}{15}$;

10) $\frac{9}{14} - \frac{3}{7} + \frac{15}{28}$;

11) $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$;

12) $\frac{13}{18} - \frac{29}{45} + \frac{8}{15}$.

Решение.

Решение 2.

1)

Чтобы сложить дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для 7 и 9 является их произведение, так как они взаимно простые числа: $7 \times 9 = 63$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $63 \div 7 = 9$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $63 \div 9 = 7$.

Приводим дроби к общему знаменателю и складываем их числители:

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{27}{63} + \frac{28}{63} = \frac{27+28}{63} = \frac{55}{63}$.

Ответ: $\frac{55}{63}$.

2)

Для вычитания дробей $\frac{8}{9}$ и $\frac{7}{8}$ найдем их общий знаменатель. НОЗ для 9 и 8 равен $9 \times 8 = 72$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $72 \div 9 = 8$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $72 \div 8 = 9$.

Выполняем вычитание:

$\frac{8}{9} - \frac{7}{8} = \frac{8 \cdot 8}{9 \cdot 8} - \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{64}{72} - \frac{63}{72} = \frac{64-63}{72} = \frac{1}{72}$.

Ответ: $\frac{1}{72}$.

3)

Чтобы вычесть $\frac{2}{3}$ из $\frac{13}{15}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 15 и 3 равен 15.

Дополнительный множитель для второй дроби: $15 \div 3 = 5$. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.

Выполняем вычитание:

$\frac{13}{15} - \frac{2}{3} = \frac{13}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{13}{15} - \frac{10}{15} = \frac{13-10}{15} = \frac{3}{15}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

4)

Для сложения $\frac{20}{21}$ и $\frac{3}{7}$ приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 21 и 7 равен 21.

Дополнительный множитель для второй дроби: $21 \div 7 = 3$.

Выполняем сложение:

$\frac{20}{21} + \frac{3}{7} = \frac{20}{21} + \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{20}{21} + \frac{9}{21} = \frac{20+9}{21} = \frac{29}{21}$.

Так как числитель больше знаменателя, выделим целую часть:

$29 \div 21 = 1$ (остаток $8$).

$\frac{29}{21} = 1\frac{8}{21}$.

Ответ: $1\frac{8}{21}$.

5)

Для вычитания дробей $\frac{17}{18}$ и $\frac{11}{12}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$. НОЗ$(18, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $36 \div 18 = 2$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $36 \div 12 = 3$.

Выполняем вычитание:

$\frac{17}{18} - \frac{11}{12} = \frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} - \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{34}{36} - \frac{33}{36} = \frac{34-33}{36} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

6)

Для сложения дробей $\frac{7}{16}$ и $\frac{1}{6}$ найдем их НОЗ. Разложим знаменатели на простые множители: $16 = 2^4$, $6 = 2 \cdot 3$. НОЗ$(16, 6) = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $48 \div 16 = 3$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $48 \div 6 = 8$.

Выполняем сложение:

$\frac{7}{16} + \frac{1}{6} = \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{21}{48} + \frac{8}{48} = \frac{21+8}{48} = \frac{29}{48}$.

Ответ: $\frac{29}{48}$.

7)

Для сложения $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{6}$ найдем НОЗ для 9 и 6. $9=3^2$, $6=2 \cdot 3$. НОЗ$(9, 6)=2 \cdot 3^2=18$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $18 \div 9 = 2$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $18 \div 6 = 3$.

Выполняем сложение:

$\frac{2}{9} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{4}{18} + \frac{15}{18} = \frac{4+15}{18} = \frac{19}{18}$.

Выделим целую часть: $19 \div 18 = 1$ (остаток $1$).

$\frac{19}{18} = 1\frac{1}{18}$.

Ответ: $1\frac{1}{18}$.

8)

Для сложения $\frac{10}{21}$ и $\frac{9}{14}$ найдем НОЗ. $21=3 \cdot 7$, $14=2 \cdot 7$. НОЗ$(21, 14)=2 \cdot 3 \cdot 7=42$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $42 \div 21 = 2$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $42 \div 14 = 3$.

Выполняем сложение:

$\frac{10}{21} + \frac{9}{14} = \frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{20}{42} + \frac{27}{42} = \frac{20+27}{42} = \frac{47}{42}$.

Выделим целую часть: $47 \div 42 = 1$ (остаток $5$).

$\frac{47}{42} = 1\frac{5}{42}$.

Ответ: $1\frac{5}{42}$.

9)

Для вычитания $\frac{4}{15}$ из $\frac{7}{9}$ найдем НОЗ. $9=3^2$, $15=3 \cdot 5$. НОЗ$(9, 15)=3^2 \cdot 5 = 45$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $45 \div 9 = 5$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $45 \div 15 = 3$.

Выполняем вычитание:

$\frac{7}{9} - \frac{4}{15} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{35}{45} - \frac{12}{45} = \frac{35-12}{45} = \frac{23}{45}$.

Ответ: $\frac{23}{45}$.

10)

Чтобы вычислить $\frac{9}{14} - \frac{3}{7} + \frac{15}{28}$, приведем все дроби к общему знаменателю. НОЗ для 14, 7 и 28 равен 28.

Дополнительный множитель для первой дроби: $28 \div 14 = 2$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $28 \div 7 = 4$.

Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

Выполняем действия по порядку:

$\frac{9}{14} - \frac{3}{7} + \frac{15}{28} = \frac{9 \cdot 2}{14 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} + \frac{15}{28} = \frac{18}{28} - \frac{12}{28} + \frac{15}{28} = \frac{18-12+15}{28} = \frac{6+15}{28} = \frac{21}{28}$.

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

11)

Чтобы вычислить $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$, найдем общий знаменатель для 6, 4 и 8. $6 = 2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$. НОЗ$(6, 4, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 6 = 4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 4 = 6$.

Дополнительный множитель для третьей дроби: $24 \div 8 = 3$.

Выполняем действия:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{24} + \frac{1 \cdot 6}{24} - \frac{1 \cdot 3}{24} = \frac{4+6-3}{24} = \frac{10-3}{24} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

12)

Чтобы вычислить $\frac{13}{18} - \frac{29}{45} + \frac{8}{15}$, найдем общий знаменатель для 18, 45 и 15. $18 = 2 \cdot 3^2$, $45 = 3^2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$. НОЗ$(18, 45, 15) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $90 \div 18 = 5$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $90 \div 45 = 2$.

Дополнительный множитель для третьей дроби: $90 \div 15 = 6$.

Выполняем действия:

$\frac{13}{18} - \frac{29}{45} + \frac{8}{15} = \frac{13 \cdot 5}{90} - \frac{29 \cdot 2}{90} + \frac{8 \cdot 6}{90} = \frac{65 - 58 + 48}{90} = \frac{7+48}{90} = \frac{55}{90}$.

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{55}{90} = \frac{55 \div 5}{90 \div 5} = \frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{11}{18}$.