Номер 270, страница 60 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 270, страница 60.

Условие.

270. Вычислите:

1) $ \frac{1}{4} + \frac{3}{5}; $

2) $ \frac{9}{11} - \frac{2}{5}; $

3) $ \frac{13}{16} - \frac{9}{32}; $

4) $ \frac{3}{28} + \frac{5}{14}; $

5) $ \frac{14}{15} - \frac{7}{10}; $

6) $ \frac{3}{8} + \frac{1}{6}; $

7) $ \frac{9}{25} - \frac{7}{20}; $

8) $ \frac{37}{42} - \frac{17}{24}; $

9) $ \frac{11}{24} - \frac{3}{16}; $

10) $ \frac{9}{16} + \frac{7}{24} - \frac{3}{8}; $

11) $ \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{4}; $

12) $ \frac{2}{5} + \frac{4}{15} - \frac{5}{9}. $

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{5}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для 4 и 5 является их наименьшее общее кратное (НОК), которое равно 20.
Дополнительный множитель для первой дроби: $20 \div 4 = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $20 \div 5 = 4$.
$\frac{1}{4} + \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{12}{20} = \frac{5+12}{20} = \frac{17}{20}$.
Ответ: $\frac{17}{20}$.

2) Для вычитания дробей $\frac{9}{11}$ и $\frac{2}{5}$ найдем их общий знаменатель. НОК(11, 5) = 55.
Дополнительный множитель для первой дроби: $55 \div 11 = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $55 \div 5 = 11$.
$\frac{9}{11} - \frac{2}{5} = \frac{9 \cdot 5}{11 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{45}{55} - \frac{22}{55} = \frac{45-22}{55} = \frac{23}{55}$.
Ответ: $\frac{23}{55}$.

3) В выражении $\frac{13}{16} - \frac{9}{32}$ знаменатели 16 и 32. Так как 32 делится на 16, то НОЗ равен 32.
Дополнительный множитель для первой дроби: $32 \div 16 = 2$.
Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{13}{16} - \frac{9}{32} = \frac{13 \cdot 2}{16 \cdot 2} - \frac{9}{32} = \frac{26}{32} - \frac{9}{32} = \frac{26-9}{32} = \frac{17}{32}$.
Ответ: $\frac{17}{32}$.

4) В выражении $\frac{3}{28} + \frac{5}{14}$ знаменатели 28 и 14. Так как 28 делится на 14, то НОЗ равен 28.
Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.
Дополнительный множитель для второй дроби: $28 \div 14 = 2$.
$\frac{3}{28} + \frac{5}{14} = \frac{3}{28} + \frac{5 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{3}{28} + \frac{10}{28} = \frac{3+10}{28} = \frac{13}{28}$.
Ответ: $\frac{13}{28}$.

5) Для вычитания дробей $\frac{14}{15}$ и $\frac{7}{10}$ найдем их общий знаменатель. НОК(15, 10) = 30.
Дополнительный множитель для первой дроби: $30 \div 15 = 2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $30 \div 10 = 3$.
$\frac{14}{15} - \frac{7}{10} = \frac{14 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{28}{30} - \frac{21}{30} = \frac{28-21}{30} = \frac{7}{30}$.
Ответ: $\frac{7}{30}$.

6) Чтобы сложить дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$, найдем их общий знаменатель. НОК(8, 6) = 24.
Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 8 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 6 = 4$.
$\frac{3}{8} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{9+4}{24} = \frac{13}{24}$.
Ответ: $\frac{13}{24}$.

7) Для вычитания дробей $\frac{9}{25}$ и $\frac{7}{20}$ найдем их общий знаменатель. НОК(25, 20) = 100.
Дополнительный множитель для первой дроби: $100 \div 25 = 4$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $100 \div 20 = 5$.
$\frac{9}{25} - \frac{7}{20} = \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{36}{100} - \frac{35}{100} = \frac{36-35}{100} = \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{100}$.

8) Для вычитания дробей $\frac{37}{42}$ и $\frac{17}{24}$ найдем их общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $24 = 2^3 \cdot 3$. НОК(42, 24) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 21 = 168$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $168 \div 42 = 4$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $168 \div 24 = 7$.
$\frac{37}{42} - \frac{17}{24} = \frac{37 \cdot 4}{42 \cdot 4} - \frac{17 \cdot 7}{24 \cdot 7} = \frac{148}{168} - \frac{119}{168} = \frac{148-119}{168} = \frac{29}{168}$.
Ответ: $\frac{29}{168}$.

9) Для вычитания дробей $\frac{11}{24}$ и $\frac{3}{16}$ найдем их общий знаменатель. НОК(24, 16) = 48.
Дополнительный множитель для первой дроби: $48 \div 24 = 2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $48 \div 16 = 3$.
$\frac{11}{24} - \frac{3}{16} = \frac{11 \cdot 2}{24 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{22}{48} - \frac{9}{48} = \frac{22-9}{48} = \frac{13}{48}$.
Ответ: $\frac{13}{48}$.

10) Чтобы вычислить $\frac{9}{16} + \frac{7}{24} - \frac{3}{8}$, приведем все дроби к общему знаменателю. НОК(16, 24, 8) = 48.
Дополнительные множители: для первой дроби $48 \div 16 = 3$; для второй $48 \div 24 = 2$; для третьей $48 \div 8 = 6$.
$\frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{24 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{27}{48} + \frac{14}{48} - \frac{18}{48} = \frac{27+14-18}{48} = \frac{41-18}{48} = \frac{23}{48}$.
Ответ: $\frac{23}{48}$.

11) Чтобы вычислить $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$, приведем все дроби к общему знаменателю. НОК(3, 6, 4) = 12.
Дополнительные множители: для первой дроби $12 \div 3 = 4$; для второй $12 \div 6 = 2$; для третьей $12 \div 4 = 3$.
$\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} - \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4-2+3}{12} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

12) Чтобы вычислить $\frac{2}{5} + \frac{4}{15} - \frac{5}{9}$, приведем все дроби к общему знаменателю. НОК(5, 15, 9) = 45.
Дополнительные множители: для первой дроби $45 \div 5 = 9$; для второй $45 \div 15 = 3$; для третьей $45 \div 9 = 5$.
$\frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{18}{45} + \frac{12}{45} - \frac{25}{45} = \frac{18+12-25}{45} = \frac{30-25}{45} = \frac{5}{45}$.
Сократим полученную дробь на 5: $\frac{5 \div 5}{45 \div 5} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.