Номер 384, страница 76 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Умножение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 384, страница 76.

Условие.

384. Сократите дробь:

1) $ \frac{124}{279} $;

2) $ \frac{324}{378} $;

3) $ \frac{888}{999} $;

4) $ \frac{1111}{111111} $;

5) $ \frac{2323}{3434} $;

6) $ \frac{121212}{191919} $.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{124}{279}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Для этого разложим числитель и знаменатель на простые множители.

Разложение числителя: $124 = 2 \cdot 62 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31$.

Разложение знаменателя: Сумма цифр числа 279 равна $2+7+9=18$, что делится на 9, следовательно, и само число делится на 9. $279 = 9 \cdot 31 = 3^2 \cdot 31$.

Общим множителем для числителя и знаменателя является 31, значит, НОД(124, 279) = 31.

Теперь разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{124}{279} = \frac{124 \div 31}{279 \div 31} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) Сократим дробь $\frac{324}{378}$. Найдем НОД числителя и знаменателя путем разложения их на простые множители.

Разложение числителя: $324 = 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^2 \cdot 3^4$.

Разложение знаменателя: $378 = 2 \cdot 189 = 2 \cdot 9 \cdot 21 = 2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$.

НОД(324, 378) = $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

Разделим числитель и знаменатель на 54:

$\frac{324}{378} = \frac{324 \div 54}{378 \div 54} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{888}{999}$ можно заметить, что и числитель, и знаменатель имеют общий множитель 111.

Представим числитель и знаменатель в виде произведения:

$888 = 8 \cdot 111$

$999 = 9 \cdot 111$

Теперь сократим дробь на общий множитель 111:

$\frac{888}{999} = \frac{8 \cdot 111}{9 \cdot 111} = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$.

4) Сократим дробь $\frac{1111}{111111}$. Найдем НОД числителя и знаменателя.

Разложим числитель на простые множители: $1111 = 11 \cdot 101$. (101 - простое число).

Разложим знаменатель на простые множители: $111111 = 111 \cdot 1001 = (3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13)$.

Единственный общий простой множитель для числителя и знаменателя - это 11. Следовательно, НОД(1111, 111111) = 11.

Разделим числитель и знаменатель на 11:

$\frac{1111}{111111} = \frac{1111 \div 11}{111111 \div 11} = \frac{101}{10101}$.

Ответ: $\frac{101}{10101}$.

5) Сократим дробь $\frac{2323}{3434}$. В числителе и знаменателе видна повторяющаяся структура, что позволяет легко найти общий множитель.

Числитель: $2323 = 2300 + 23 = 23 \cdot 100 + 23 = 23 \cdot (100 + 1) = 23 \cdot 101$.

Знаменатель: $3434 = 3400 + 34 = 34 \cdot 100 + 34 = 34 \cdot (100 + 1) = 34 \cdot 101$.

Сократим дробь на общий множитель 101:

$\frac{2323}{3434} = \frac{23 \cdot 101}{34 \cdot 101} = \frac{23}{34}$.

Ответ: $\frac{23}{34}$.

6) Сократим дробь $\frac{121212}{191919}$. Аналогично предыдущему примеру, используем повторяющуюся структуру чисел.

Числитель: $121212 = 12 \cdot 10101$.

Знаменатель: $191919 = 19 \cdot 10101$.

Сократим дробь на общий множитель 10101:

$\frac{121212}{191919} = \frac{12 \cdot 10101}{19 \cdot 10101} = \frac{12}{19}$.

Ответ: $\frac{12}{19}$.