Номер 388, страница 76 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Умножение дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 388, страница 76.

Условие.

388. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий — разные трёхзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?

Решение.

Решение 2.

Пусть три двузначных числа, написанные на доске, это A, B и C.

Согласно условию, первая цифра одного из них 5, второго — 6, а третьего — 7. Обозначим их в виде:

• $A = 50 + a$
• $B = 60 + b$
• $C = 70 + c$

где $a, b, c$ — это цифры от 0 до 9.

Трое учащихся складывали по два числа. Всего возможно три различные суммы: $A+B$, $A+C$ и $B+C$.

Вычислим возможные диапазоны для этих сумм:

• $A+B = (50+a) + (60+b) = 110 + (a+b)$. Поскольку $0 \le a+b \le 18$, то $110 \le A+B \le 128$.
• $A+C = (50+a) + (70+c) = 120 + (a+c)$. Поскольку $0 \le a+c \le 18$, то $120 \le A+C \le 138$.
• $B+C = (60+b) + (70+c) = 130 + (b+c)$. Поскольку $0 \le b+c \le 18$, то $130 \le B+C \le 148$.

Один из учащихся получил в сумме 147. Сравнивая это число с вычисленными диапазонами, мы видим, что только сумма $B+C$ может быть равна 147.

$B+C = 130 + (b+c) = 147$

Отсюда находим сумму цифр $b$ и $c$:

$b+c = 147 - 130 = 17$

Поскольку $b$ и $c$ — это цифры от 0 до 9, возможны только два варианта:

1. $b=8, c=9$
2. $b=9, c=8$

Два других учащихся получили разные трёхзначные числа, первые две цифры которых 1 и 2. Это означает, что обе суммы находятся в диапазоне от 120 до 129. Этими суммами должны быть $A+B$ и $A+C$.

Таким образом, должны выполняться два условия:

1. $120 \le A+B \le 129 \implies 120 \le 110 + a+b \le 129 \implies 10 \le a+b \le 19$. Учитывая, что максимальное значение $A+B$ равно 128, условие будет $10 \le a+b \le 18$.
2. $120 \le A+C \le 129 \implies 120 \le 120 + a+c \le 129 \implies 0 \le a+c \le 9$.

Теперь проверим два ранее найденных варианта для $b$ и $c$.

Случай 1: $b=8, c=9$

Подставим эти значения в условия для $a$:

• Из $10 \le a+b \le 18$ получаем $10 \le a+8 \le 18 \implies 2 \le a \le 10$. Так как $a$ - цифра, то $2 \le a \le 9$.
• Из $0 \le a+c \le 9$ получаем $0 \le a+9 \le 9 \implies -9 \le a \le 0$. Так как $a$ - цифра, то $a=0$.

Полученные условия для $a$ ($2 \le a \le 9$ и $a=0$) противоречат друг другу. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $b=9, c=8$

Подставим эти значения в условия для $a$:

• Из $10 \le a+b \le 18$ получаем $10 \le a+9 \le 18 \implies 1 \le a \le 9$.
• Из $0 \le a+c \le 9$ получаем $0 \le a+8 \le 9 \implies -8 \le a \le 1$.

Объединяя условия $1 \le a \le 9$ и $-8 \le a \le 1$, получаем единственное возможное значение для $a$: $a=1$.

Таким образом, мы нашли все цифры: $a=1, b=9, c=8$.

Теперь определим исходные числа:

• $A = 50 + a = 50 + 1 = 51$
• $B = 60 + b = 60 + 9 = 69$
• $C = 70 + c = 70 + 8 = 78$

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа всем условиям задачи.

Числа на доске: 51, 69, 78.

Суммы двух из них:

• $51 + 69 = 120$ (первые две цифры 1 и 2)
• $51 + 78 = 129$ (первые две цифры 1 и 2)
• $69 + 78 = 147$

Все условия выполнены: одна сумма равна 147, а две другие — это разные трёхзначные числа (120 и 129), первые две цифры которых 1 и 2.

Ответ: На доске написаны числа 51, 69 и 78.